Tìm n, k thuộc N* sao cho 2^n + 11 chia hết 2^k - 1

Để tìm các giá trị \( n \) và \( k \) thuộc \(\mathbb{N}^*\) sao cho \( 2^n + 11 \) chia hết cho \( 2^k - 1 \), trước tiên ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng divisibility:

\[
2^n + 11 \equiv 0 \pmod{2^k - 1}
\]
Điều này tương đương với:

\[
2^n \equiv -11 \pmod{2^k - 1}
\]

Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau của \( k \) và tìm \( n \) sao cho điều kiện trên thỏa mãn.

### Phân tích với các giá trị \( k \)

1. **Với \( k = 1 \)**:
- Ta có \( 2^k - 1 = 2^1 - 1 = 1 \).
- Mọi số chia hết cho 1, nên với bất cứ giá trị nào của \( n \), điều kiện này thỏa mãn.

2. **Với \( k = 2 \)**:
- Ta có \( 2^k - 1 = 2^2 - 1 = 3 \).
- Ta cần \( 2^n \equiv -11 \pmod{3} \).
- Tính toán \( -11 \) modulo \( 3 \): \( -11 \equiv 1 \pmod{3} \).
- Vậy ta cần \( 2^n \equiv 1 \pmod{3} \).
- Lưu ý rằng \( 2^n \equiv 1 \pmod{3} \) khi \( n \) chẵn. Vậy với \( k = 2 \), \( n \) có thể là bất kỳ số chẵn nào.

3. **Với \( k = 3 \)**:
- Ta có \( 2^k - 1 = 2^3 - 1 = 7 \).
- Cần \( 2^n \equiv -11 \pmod{7} \).
- Tính toán \( -11 \) modulo \( 7 \): \( -11 \equiv 3 \pmod{7} \).
- Vậy ta cần \( 2^n \equiv 3 \pmod{7} \).
- Các giá trị của \( 2^n \mod 7 \):
- \( n = 1: 2^1 \equiv 2 \)
- \( n = 2: 2^2 \equiv 4 \)
- \( n = 3: 2^3 \equiv 1 \)
- \( n = 4: 2^4 \equiv 2 \)
- \( n = 5: 2^5 \equiv 4 \)
- \( n = 6: 2^6 \equiv 1 \)
- ...
- Như vậy, không có n nào thỏa mãn.

4. **Với \( k = 4 \)**:
- Ta có \( 2^k - 1 = 2^4 - 1 = 15 \).
- Cần \( 2^n \equiv -11 \pmod{15} \).
- Tính toán \( -11 \) modulo \( 15 \): \( -11 \equiv 4 \pmod{15} \).
- Ta cần \( 2^n \equiv 4 \pmod{15} \).
- Các giá trị của \( 2^n \mod 15 \):
- \( n = 1: 2^1 \equiv 2 \)
- \( n = 2: 2^2 \equiv 4 \) (thỏa mãn)
- ...
- Vậy \( n = 2 \) là một nghiệm.

### Kết luận

- Với \( k = 1 \), \( n \) có bất kỳ giá trị thuộc \(\mathbb{N}^*\).
- Với \( k = 2 \), \( n \) là số chẵn.
- Với \( k = 4 \), \( n = 2 \).

Từ những phân tích trên, có thể viết các nghiệm tổng quát là:
- \( (n, k) = (1, 1), (2, 1), (3, 1), \ldots \)
- \( (n, 2k) \) với \( k \in \mathbb{N}^*\).
- \( (2, 4) \)

Bạn có thể mở rộng tìm nghiệm cho các giá trị lớn hơn của \( k \) tương tự như vậy.