Cho hai biểu thức \( A = \frac{x+\sqrt{x+3}}{x-4} \) và \( B = \frac{\sqrt{x+3}}{x-4} - \frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x-2}} \) \( (x > 0; x \neq 4) \). Tính giá trị biểu thức: \( A \) khi \( x = 9 \)

Để tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \):

\[
A = \frac{x + \sqrt{x + 3}}{x - 4}
\]

Thay \( x = 9 \):

\[
A = \frac{9 + \sqrt{9 + 3}}{9 - 4} = \frac{9 + \sqrt{12}}{5}
\]
\[
\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \implies A = \frac{9 + 2\sqrt{3}}{5}
\]

Do đó, giá trị của \( A \) khi \( x = 9 \) là:

\[
A = \frac{9 + 2\sqrt{3}}{5}
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) được cho như sau:

\[
B = \frac{\sqrt{x+3}}{x-4} - \frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x-2}}
\]

Để rút gọn \( B \), ta cần tính từng phần và cộng lại.

1. **Tính phần thứ hai**:
\[
\frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}
\]

2. **Tính \( B \)**:
Kết hợp các phần với mẫu số chung có thể là \((x-4)(\sqrt{x} + 2)\sqrt{x-2}\):

\[
B = \frac{\sqrt{x+3}(\sqrt{x}+2)\sqrt{x-2} - \sqrt{x}(x-4)\sqrt{x-2} - (x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)\sqrt{x-2}}
\]

Tuy nhiên, việc rút gọn cụ thể sẽ cần các thao tác tính toán chi tiết. Để tiếp tục với bước 3, ta có thể tìm giá trị của \( B \) tại một số giá trị của \( x \) thuận tiện.

### Bước 3: Tìm các giá trị \( x \) nguyên dương để \( A - B < \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Ta cần tạo điều kiện:

\[
A - B < \frac{1}{\sqrt{x}}
\]

Với \( A = \frac{9 + 2\sqrt{3}}{5} \), sẽ tính \( A - B \) tại các giá trị \( x \) nguyên dương (1, 2, 3, ...). Cần phá vỡ từng biểu thức \( B \) để so sánh với \( \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Sẽ cần có thêm tính toán cụ thể để xác định khoảng giá trị cho \( x \).