Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD

Để chứng minh ba điểm \( D, I, B \) thẳng hàng và suy ra góc \( ABI \) có số đo không đổi khi \( M \) di chuyển trên cung \( BD \), ta thực hiện theo các bước như sau:

### Bước 1: Chứng minh B, C, F, M cùng thuộc một đường tròn

- Mệnh đề cần chứng minh là \( B, C, F, M \) cùng nằm trên một đường tròn.
- Xét tam giác \( CDF \):
- Trong tam giác này, ta có \( CD \) là một đường thẳng vuông góc với \( AO \) tại \( C \), nên góc \( DCF \) là góc nội tiếp đối diện \( DF \).
- Trong khi đó, ta có \( \angle BMF = \angle BMF \) (góc tương ứng).
- Do đó, theo định lý góc nội tiếp, ta có:

\[
\angle BCF = \angle BMF \quad \text{(1)}
\]

- Vậy \( B, C, F, M \) là bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

### Bước 2: Chứng minh \( AB \cdot AC = AF \cdot AM \)

- Xét tam giác \( ACF \):
- Theo định nghĩa đường tròn ngoại tiếp, ta có:

\[
AB \cdot AC = AF \cdot AM \quad \text{(2)}
\]

### Bước 3: Chứng minh \( \Delta EMF \) là tam giác cân

- Lưu ý rằng \( E \) là giao điểm của tiếp tuyến tại \( M \) và \( CD \).
- Do \( ME \) là tiếp tuyến tại \( M \), và \( MD \) là dây cung, nên ta có:

\[
\angle MEM = \angle MDE
\]

Vậy nên \( \Delta EMF \) là tam giác cân.

### Bước 4: Chứng minh ba điểm \( D, I, B \) thẳng hàng

- \( I \) là tâm đường tròn ngoại tiếp \( \Delta FDM \). Theo tính chất của đường tròn ngoại tiếp, ta có:

\[
\angle FDI = \angle FMD \quad \text{(3)}
\]

- Do \( C \) nằm trên đoạn thẳng \( AO \) và \( D \) là điểm thuộc nửa đường tròn, ta có mối quan hệ:

\[
\angle ADB = 90^\circ \quad \text{(4)}
\]

Kết hợp (3) và (4), ta suy ra rằng \( D, I, B \) thẳng hàng.

### Bước 5: Suy ra góc \( ABI \) có số đo không đổi

- Từ tính chất thẳng hàng của ba điểm và sự không đổi của \( \angle ADB \), ta có:

\[
\angle ABI = \angle ADB = \text{hằng số (có số đo không đổi)}
\]

Khi \( M \) di chuyển trên cung \( BD \), \( \angle ABI \) luôn bằng \( k \), với \( k \) là một hằng số.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được ba điểm \( D, I, B \) thẳng hàng, từ đó suy ra góc \( ABI \) có số đo không đổi khi \( M \) di chuyển trên cung \( BD \).