a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).

b) Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm \(\left( { - 1;2} \right)\).

c) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

d) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}} = x + 5 + \frac{4}\).

Ta có \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):y = x + 5 + \frac{4}\) có tọa độ nguyên \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\4 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\).

Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\x - 1 =  - 1\\x - 1 = 2\\x - 1 =  - 2\\x - 1 = 4\\x - 1 =  - 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;y = 11\\x = 0;y = 1\\x = 3;y = 10\\x =  - 1;y = 2\\x = 5;y = 11\\x =  - 3;y = 1\end{array} \right.\).

Do đó đồ thị \(\left( C \right)\) có 6 tọa độ nguyên.