Trong buổi lễ sơ kết học kì 1 của trường A, số phần thường của học sinh khối lớp 6 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 5 thì dư 3, khi chia cho 7 dư 4. Tính số phần thưởng của học sinh khối lớp 6

Để tìm số phần thưởng của học sinh khối lớp 6 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện, ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nghiệm cho hệ phương trình đồng dư.

Ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 2 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 3 \mod 5 \)
3. \( x \equiv 4 \mod 7 \)

Bước 1: Giải điều kiện đầu tiên và điều kiện thứ hai.
Từ điều kiện thứ hai, ta biểu diễn \( x \) dưới dạng:
\[
x = 5k + 3 \quad \text{(với k là một số nguyên)}
\]

Giờ ta thay \( x \) vào điều kiện đầu tiên:
\[
5k + 3 \equiv 2 \mod 3
\]

Để giải điều này, ta tính \( 5 \mod 3 \):
\[
5 \equiv 2 \mod 3
\]
Vậy ta có:
\[
2k + 3 \equiv 2 \mod 3 \implies 2k \equiv -1 \equiv 2 \mod 3 \implies k \equiv 1 \mod 3
\]
Từ đây, \( k \) có thể viết là:
\[
k = 3m + 1 \quad \text{(với m là một số nguyên)}
\]
Thay vào phương trình cho \( x \):
\[
x = 5(3m + 1) + 3 = 15m + 5 + 3 = 15m + 8
\]
Ta có:
\[
x \equiv 8 \mod 15
\]

Bước 2: Giải với điều kiện thứ ba:
Ta có hệ:
1. \( x \equiv 8 \mod 15 \)
2. \( x \equiv 4 \mod 7 \)

Biểu diễn \( x \) từ điều kiện đầu tiên:
\[
x = 15n + 8 \quad \text{(với n là một số nguyên)}
\]
Thay vào điều kiện thứ ba:
\[
15n + 8 \equiv 4 \mod 7
\]

Tính \( 15 \mod 7 \):
\[
15 \equiv 1 \mod 7
\]
Vậy ta có:
\[
n + 8 \equiv 4 \mod 7 \implies n \equiv 4 - 8 \equiv -4 \equiv 3 \mod 7
\]
Từ đây, biểu diễn \( n \):
\[
n = 7p + 3 \quad \text{(với p là một số nguyên)}
\]

Bây giờ, thay vào phương trình cho \( x \):
\[
x = 15(7p + 3) + 8 = 105p + 45 + 8 = 105p + 53
\]

Ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất:
Khi \( p = 0 \), ta có:
\[
x = 53
\]

Kiểm tra điều kiện:
- \( 53 \mod 3 = 2 \) (đúng)
- \( 53 \mod 5 = 3 \) (đúng)
- \( 53 \mod 7 = 4 \) (đúng)

Vì vậy, số phần thưởng của học sinh khối lớp 6 là \( \boxed{53} \).