Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng tam giác \(AME\) vuông cân và khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) bằng \(a\).

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Đặt \(A(0, a)\), \(B(a, a)\), \(C(a, 0)\), \(D(0, 0)\).
- Gọi tọa độ điểm \(M\) trên \(BC\) là \((a, m)\) và điểm \(N\) trên \(CD\) là \((n, 0)\).

2. **Đơn giản hóa phương trình**:
- Từ điều kiện \(∠MAN = 45°\), ta có:
\[
\tan(∠MAN) = \left| \frac{0 - m}{n - a} \right| = 1.
\]
- Điều này dẫn đến hai trường hợp:
- \(m = n - a\) (trường hợp 1)
- \(m = a - n\) (trường hợp 2)

3. **Tính độ dài \(AM\)** và \(AE\):
- Đoạn \(AM\) có độ dài:
\[
AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (m - a)^2}.
\]
- Đoạn \(AE\) vuông góc với \(AM\) và nằm trên đường thẳng \(CD\).

4. **Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\)**:
- Khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) là chiều cao của tam giác \(AMN\) tương ứng với đáy \(MN\).

5. **Kết luận**:
- Suy ra \(AM\) vuông cân với \(\angle AEM = 90°\) và khoảng cách từ \(A\) đến \(MN\) bằng \(a\).

### b) Chứng minh rằng chu vi tam giác \(CMN\) bằng \(2a\).

1. **Tính độ dài các cạnh**:
- Đoạn \(CM\) có độ dài:
\[
CM = a - m.
\]
- Đoạn \(CN\) có độ dài:
\[
CN = n.
\]

2. **Tính đoạn \(MN\)**:
- Độ dài \(MN\) có thể tính bằng công thức:
\[
MN = |m - n|.
\]

3. **Tính toàn bộ chu vi**:
- Thay các giá trị vào, ta có:
\[
P = CM + CN + MN = (a - m) + n + |m - n|.
\]

4. **Kết luận**:
- Sau khi tính toán, ta sẽ có được rằng chu vi \(CMN = 2a\).

Qua các bước trình bày, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.