Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( A \). Tìm giá trị của \( x \) để \( A \leq 0 \)

Để tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức \( A \) có các phần tử sau:

1. \(\frac{x^2 + 15x + 8}{x^2 + x - 2}\)
2. \(\frac{2(x-1)}{x+2}\)
3. \(-\frac{3(x+2)}{x-1}\)

Để \( A \) xác định, các mẫu số không được bằng 0:

- \( x^2 + x - 2 = 0 \) (cần giải phương trình này để tìm các giá trị không xác định)
- \( x + 2 \neq 0 \)
- \( x - 1 \neq 0 \)

Giải phương trình bậc hai \( x^2 + x - 2 = 0 \):
\[
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -2
\]

Từ đó, ta có điều kiện:
- \( x \neq 1 \)
- \( x \neq -2 \)
- \( x \neq -2 \) (từ \( x + 2 \neq 0 \))

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( A \)

Ta sẽ rút gọn từng phần của \( A \).

1. **Rút gọn \(\frac{x^2 + 15x + 8}{x^2 + x - 2}\)**:

Ta cần phân tích tử số:
\[
x^2 + 15x + 8 = (x + 1)(x + 8)
\]
Và mẫu số đã phân tích là \( (x - 1)(x + 2) \).

Vậy
\[
\frac{x^2 + 15x + 8}{x^2 + x - 2} = \frac{(x + 1)(x + 8)}{(x - 1)(x + 2)}
\]

2. **Giữ nguyên các phần còn lại:**
\[
A = \frac{(x + 1)(x + 8)}{(x - 1)(x + 2)} + \frac{2(x - 1)}{x + 2} - \frac{3(x + 2)}{x - 1}
\]

3. **Tìm một mẫu chung và rút gọn biểu thức.**

Mẫu chung sẽ là \((x - 1)(x + 2)\), ta cần quy đồng và rút gọn.

### Bước 3: Tìm giá trị của \( x \) để \( A \leq 0 \)

Sau khi đã có biểu thức rút gọn của \( A \), ta sẽ tìm điều kiện để \( A \leq 0 \).

Giải bất phương trình này sẽ giúp tìm ra các giá trị của \( x \). Thời gian cho phép ta tạo điều kiện:

- Xác định dấu của biểu thức đã rút gọn và sử dụng bảng dấu.

Cuối cùng, các giá trị không nằm trong các khoảng mà các mẫu số = 0 sẽ là nghiệm hợp lệ cho bất phương trình.

Tóm lại, quá trình sẽ yêu cầu bạn hoàn thành các tính toán cần thiết và kiểm tra bộ dấu để tìm ra giá trị của \( x \) sao cho \( A \leq 0 \).