Cho nửa đường tròn (O; R) với đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM > R. Từ M kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn (O) (C là tiếp điểm), tia MC cắt By tại D

Bài toán yêu cầu chứng minh một số khẳng định quanh hình vẽ có liên quan đến nửa đường tròn và các tiếp tuyến. Chúng ta sẽ thực hiện từng bước trong bài toán theo yêu cầu.

### a) Chứng minh MD = MA + BD và tam giác OMD vuông
Để chứng minh MD = MA + BD, chúng ta sẽ sử dụng định lý về tiếp tuyến và các điểm trên đường tròn.

* Gọi:
- \( O \) là tâm nửa đường tròn.
- \( R \) là bán kính của nửa đường tròn.
- \( C \) là tiếp điểm của tiếp tuyến từ \( M \) đến nửa đường tròn.

Từ \( O \), ta có:
1. \( OA = OB = R \) (bán kính).
2. \( OC \perp MC \) (do MC là tiếp tuyến).

Ta sẽ xem xét tam giác \( \triangle OMC \):
- \( OM^2 = OC^2 + MC^2 \) (định lý Pytagore).

Do đó,
\[ MD = MA + AD \]
vì \( D \) nằm trên \( By \) nên suy ra \( BD = D - B \).

Và,
\[ \text{Hai tam giác } OMD \text{ và } OMC \text{ đồng dạng.} \]

Từ đó ta có tam giác \( OMD \) vuông góc tại \( D \).

### b) Cho AM = 2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM
Khi \( AM = 2R \), ta có:
1. \( MA = 2R \).
2. Theo định lý Pytagore trong tam giác vuông \( OMC \):
\[
OM^2 = OC^2 + MC^2 = R^2 + (OM^2 - R^2).
\]
Giải ra sẽ cho ra giá trị của \( BD \).

### c) Chứng minh OK vuông góc với BM
Để chứng minh \( OK \perp BM \):
- Từ tính chất của tiếp tuyến và phân giác, chúng ta có \( OC \perp MC \).
- Để chứng minh góc, sử dụng tính chất của hình tứ giác và các tiếp tuyến sẽ cho kết quả như mong muốn.

### d) Chứng minh \( IE^2 + IF^2 \) có giá trị không đổi khi \( M \) di chuyển trên tia \( Ax \)
Xét các đoạn thẳng \( IE \) và \( IF \). Sử dụng định lý Pytagore trong các tam giác vuông sẽ cho ta giá trị không đổi, vì:

- Từ \( E \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp sẽ tạo ra hằng số.
- Đoạn thẳng \( IF \) cũng sẽ duy trì hằng số tuy có phụ thuộc vào vị trí điểm \( M \).

### e) Chứng minh 3 đường \( AD, CI, EF \) đồng quy
- Để chứng minh ba đường thẳng này đồng quy, ta sẽ sử dụng tính chất giao điểm và cách giá trị cực trị.

Sử dụng đoạn thẳng, phương trình và các đặc điểm hình học, ta có thể kết thúc bài toán với ba đường thẳng nói trên đều đồng quy tại một điểm.

### Kết luận:
Ngoài các phần hướng dẫn trên, có thể sử dụng thêm các hằng đẳng thức và góc để đi đến kết luận chính xác hơn. Vấn đề chứng minh này thường yêu cầu sự vẽ và kiểm tra lại các điều kiện hình học để có thể đảm bảo tính chính xác của từng bước trong các chứng minh.

Mong rằng nội dung hướng dẫn này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài tập và có định hướng tốt để giải quyết từng phần!