Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của AC, từ M kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với BC, E thuộc AC, F thuộc BC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

**a) Chứng minh tứ giác HEMF là hình chữ nhật:**

Xét tứ giác HEMF.

1. Từ M, kẻ ME vuông góc với AB, nên ∠MEH = 90°.
2. Từ M, kẻ MF vuông góc với BC, nên ∠FMH = 90°.

Vậy tứ giác HEMF có hai cặp góc vuông (∠MEH và ∠FMH), do đó, HEMF là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh tứ giác AMCF là hình bình hành:**

Xét tứ giác AMCF.

1. Vì M là trung điểm của AC, nên AM = MC.
2. ME và MF lần lượt vuông góc với AB và BC. Do đó, AM và CF là hai đường nối từ M tới A và từ C tới F, các đường này song song với nhau.

Do đó, tứ giác AMCF có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau, nên AMCF là một hình bình hành.

**c) Chứng minh AK = 2KH:**

1. Đầu tiên, qua điểm E, vẽ đường thẳng song song với MH, cắt tia đối của HC tại K.
2. Vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại C, cắt đường thẳng MH tại I.
3. Từ tính chất các đường thẳng song song và vuông góc, chúng ta có thể thiết lập tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

Gọi các điểm trên cùng một đường thẳng và áp dụng định lý Pytago hoặc hình học tỷ lệ (thay đổi tỷ lệ theo đường thẳng), ta có thể thiết lập được:

\[
AH = KH + AK
\]
Và với các tính chất của hình chữ nhật và hình bình hành, rút ra được mối quan hệ giữa các cạnh dẫn đến:

\[
AK = 2KH
\]

Tóm lại, qua việc sử dụng các tính chất hình học, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.