Gọi \( T \) là tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{2x^2 + x + 3} + x - 1 = 0\). Tính giá trị \( T \)

Để giải phương trình \(\sqrt{2x^2 + x + 3} + x - 1 = 0\), ta có thể biến đổi phương trình như sau.

Đầu tiên, đưa \(x - 1\) sang bên phải:

\[
\sqrt{2x^2 + x + 3} = 1 - x
\]

Bình phương hai bên (vì cả hai bên đều không âm khi \(1 - x \geq 0\)):

\[
2x^2 + x + 3 = (1 - x)^2
\]

Mở rộng và thu gọn:

\[
2x^2 + x + 3 = 1 - 2x + x^2
\]

Chuyển tất cả về một vế:

\[
2x^2 + x + 3 - 1 + 2x - x^2 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
x^2 + 3x + 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:

Tính Delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1
\]

Nghiệm sẽ là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm 1}{2}
\]

Tính ra hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]
\[
x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\]

Tổng các nghiệm là:

\[
T = x_1 + x_2 = -1 + (-2) = -3
\]

Phải kiểm tra các nghiệm có thỏa mãn điều kiện của phương trình hay không:

Với \(x = -1\):

\[
\sqrt{2(-1)^2 + (-1) + 3} + (-1) - 1 = \sqrt{2 - 1 + 3} - 1 - 1 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
\]

Với \(x = -2\):

\[
\sqrt{2(-2)^2 + (-2) + 3} + (-2) - 1 = \sqrt{8 - 2 + 3} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0
\]

Vậy cả hai nghiệm đều hợp lệ.

Cuối cùng:

\[
T = -3
\]

=> Kết quả là \(T = -3\).