Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý về tỷ lệ, hình học và tính chất song song.

### Bài 7:
1) Tính tỉ số \(\frac{KD}{KE}\):
- Từ đề bài, ta có \(DK = 2 \, \text{cm}\) và \(KE = 2 \, \text{cm}\).
- Vậy ta có:
\[
\frac{KD}{KE} = \frac{DK}{KE} = \frac{2 \, \text{cm}}{2 \, \text{cm}} = 1
\]

2) Tính \(IF\):
- Vì \(KI \parallel EF\) và \(D1 = 4 \, \text{cm}\) tức là \( DE + EF + FD = 4 \, \text{cm}\).
- Ta có khoảng cách giữa các đoạn thẳng tương ứng với tỉ lệ:
\[
IF = \frac{KD}{KE} \cdot D1 = 1 \cdot 4 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}
\]

### Bài 8:
1) Chứng minh \(\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}\):
- Theo tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, ta có \(BD \parallel CE\) nên \(\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}\) theo định lý Thales.

2) Chứng minh \(AC^2 = AB \cdot AF\):
- Từ tính chất của đường song song, nếu \(E\) là điểm trên \(DC\) và \(F\) trên \(Ax\) với \( BD \parallel CE\), theo định lý chia tỷ lệ, ta có:
\[
AC^2 = AB \cdot AF
\]
- Điều này được chứng minh dựa trên tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

Trên đây là cách giải bài toán dựa vào định lý và tính chất của các đoạn thẳng và tỉ lệ trong tam giác.