Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle ACB = 30^\circ \). Theo định nghĩa, chúng ta có các tính chất cơ bản của tam giác vuông và góc.

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \cong EBD \)

Trong tam giác \( ABC \), vì góc \( ACB = 30^\circ \), nên chúng ta có góc còn lại \( \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Vì \( BE = BA \) (theo giả thiết) và \( AD \) là tia phân giác của góc \( ABC \), chúng ta có \( \angle ABD = \angle DBC \).

**Chứng minh:**
- Cạnh \( AB \) chung của hai tam giác \( ABD \) và \( EBD \).
- \( BE = BA \) (theo giả thiết).
- \( \angle ABD = \angle DBC \) (do tia phân giác).

Từ đó, hai tam giác \( ABD \) và \( EBD \) có ba cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau. Do đó \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) (căn cứ vào tiêu chuẩn \( Cạnh - Cạnh - Góc \) hay \( CCG \)).

### b) Chứng minh \( DE \) vuông góc với \( BC \)

Trong tam giác \( ABC \), ta có:
- \( AD \) là tia phân giác của góc \( ABC \).
- Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
Do đó, nếu \( DE \) là đường thẳng cắt \( BC \) tại điểm \( E \), thì từ tam giác \( ABD \) và \( EBD \) đã chứng minh ở phần a), ta có:

Góc \( ABE = \angle DBC \) và vì \( DE \) cũng nằm trên tia phân giác, nên ta có:
\[
\angle ABE + \angle BED = 90^\circ
\]

=> \( DE \) vuông góc với \( BC \).

### c) Tính góc \( ADB \)

Từ tam giác \( ABC \), chúng ta biết:
- \( \angle CAB = 90^\circ - \angle ACB = 60^\circ \).

Bởi vì \( D \) nằm trên tia phân giác, sẽ có các mối quan hệ gốc như sau:
\[
\angle ADB = \angle DBC + \angle BAD
\]

Mà:
- \( \angle DBC = 30^\circ \) (theo \( ABC \)).
- \( \angle BAD = 30^\circ \) (theo góc phân giác).

Do đó, ta có:
\[
\angle ADB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh:
- a) \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \)
- b) \( DE \) vuông góc với \( BC \)
- c) \( \angle ADB = 60^\circ. \)