Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a) Tính độ dài AB.

Tam giác OAB vuông tại B nên ta có thể sử dụng định lý Pythagore:
\[
AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.
\]
Vậy độ dài AB là \(\sqrt{34}\).

### b) Tính độ dài BH và chứng minh \(OH \cdot OA = 9\).

Để tính độ dài BH, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OBH vuông tại H:
\[
OH = OA - AH.
\]
Trong đó \(AH\) là chiều cao từ B hạ xuống OA.

Do \(OA = 5\) và \(OB = 3\), ta có:
\[
AH = OB = 3.
\]
Vậy \(OH = 5 - 3 = 2.\)

Bây giờ, kiểm tra \(OH \cdot OA\):
\[
OH \cdot OA = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (không phải 9).}
\]

### c) Vẽ đường tròn tâm O bán kính OB, gọi C là giao điểm khác B của đường thẳng BH với đường tròn tâm O.

- Đường tròn có phương trình: \(x^2 + y^2 = OB^2 = 9\).
- Đường thẳng BH (vuông góc với OA tại H) có phương trình:
+ Nếu A nằm trên trục hoành: \(y = -\frac{3}{5}(x - 5)\).

Giải hệ phương trình để tìm C.

### d) Kẻ đường kính BE của (O), hạ CG vuông góc với BE tại G, AE cắt CG tại F.

Tính độ dài BE,
- Đường kính của đường tròn tâm O có độ dài là 2OB = 6.

Sau đó, tìm G (trên BE) sao cho CG vuông góc với BE.

### 1) Chứng minh F là trung điểm của CG.

Chứng minh bằng cách sử dụng tọa độ. Nếu G là một điểm, tìm tọa độ C và chứng minh rằng F chia CG thành hai phần bằng nhau.

---

Nếu cần thêm chi tiết hoặc giải thích về bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!