Để tính biểu thức \(703 - 140 : (2 + 18) + 15^{2703} - 140 : (2 + 18) + 15 \sqrt{2}\), ta thực hiện từng phần một.

1. Tính \(2 + 18\):
\[
2 + 18 = 20
\]

2. Tính \(140 : 20\):
\[
140 : 20 = 7
\]

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[
703 - 7 + 15^{2703} - 7 + 15 \sqrt{2}
\]

4. Tính các phần số:
\[
703 - 7 = 696
\]
\[
696 - 7 = 689
\]

5. Biểu thức được đơn giản hóa thành:
\[
689 + 15^{2703} + 15 \sqrt{2}
\]

Vì \(15^{2703}\) là một số rất lớn, kết quả cuối cùng sẽ là:
\[
689 + 15^{2703} + 15 \sqrt{2}
\]

Không thể tính chính xác giá trị của \(15^{2703}\) nhưng bạn có thể để nguyên biểu thức hoặc cung cấp thêm thông tin nếu bạn muốn tính gần hơn.