Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( \angle ACB = 60^\circ \). Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( D \) sao cho \( CA = CD \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \)

Chúng ta cùng giải bài toán theo từng phần:

### Phần 1: Xét tam giác \( ABC \)

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( \angle ACB = 60^\circ \).

#### a) Tính \( \angle ACD \) và \( \angle ADB \) là tam giác gì? Vì sao?

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên:

- \( \angle ABC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Xét tam giác \( ACD \):

- Vì \( CA = CD \) (theo đề bài), tam giác \( ACD \) là tam giác cân tại \( C \).
- Có \( \angle ACD = 60^\circ \), nên \( \angle DAC = \angle DCA = 60^\circ \).

Do đó, \( ACD \) là tam giác đều.

#### b) Chứng minh \( \triangle ACM = \triangle DCM \).

Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \). Ta có:

- \( AM = MD \) (vì \( M \) là trung điểm).
- \( CA = CD \) (theo giả thiết).
- \( CM \) chung.

Vì vậy, \( \triangle ACM \cong \triangle DCM \) theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (CC).

#### c) Gọi \( P \) là giao điểm của \( CM \) và \( AB \). Chứng minh \( DP \perp BC \).

1. Chứng minh rằng \( \triangle ACP \) và \( \triangle DCP \) là các tam giác vuông:

- Cả hai tam giác có \( CP \) là cạnh chung, và \( \angle ACP = \angle DCP = 90^\circ \).

2. Thêm vào đó, \( AC = DC \) và \( AP = PD \).

Từ đó, ta có \( \triangle ACP \cong \triangle DCP \) theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (CC).

3. Suy ra \( DP \perp BC \) vì \( \triangle ACD \) là tam giác vuông tại \( C \).

### Phần 2: Vấn đề chuyển động

Hai vận động viên xuất phát cùng hướng tại 1 điểm trên mặt vòng tròn có chu vi 1,57 km, với vận tốc không đổi lần lượt là 32,5 km/h và 35 km/h.

#### a) Sau bao lâu kể từ khi xuất phát hai xe gặp nhau lần đầu?

Tốc độ tương đối giữa hai xe là:

\[
v_{rel} = 35 + 32,5 = 67,5 \text{ km/h}
\]

Thời gian gặp nhau lần đầu:

\[
t = \frac{1,57 \text{ km}}{67,5 \text{ km/h}} \approx 0,0233 \text{ giờ} \approx 1,4 \text{ phút}.
\]

#### b) Trong thời gian 1,5 giờ hai xe gặp nhau bao nhiêu lần?

Trong 1,5 giờ, số lần gặp nhau là:

\[
n = \frac{1,5 \text{ giờ}}{0,0233 \text{ giờ}} \approx 64,4.
\]

Vậy, hai xe gặp nhau 64 lần trong thời gian 1,5 giờ.

Tóm lại:

- \( \triangle ACD \) là tam giác đều.
- \( \triangle ACM \cong \triangle DCM \).
- \( DP \perp BC \).
- Hai xe gặp nhau lần đầu sau khoảng 1,4 phút và tổng cộng 64 lần trong 1,5 giờ.