Tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC ), có tia BD là tia phân giác của góc ABC trên cạnh BC lấy E sao cho BA = BE

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác BAD = tam giác BED

Ta có:

1. **Góc B**: Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên \( \angle ABD = \angle EBD \).
2. **Cạnh BA và BE**: Theo giả thiết, \( BA = BE \).
3. **Cạnh AD và DE**: Cả hai tam giác đều có cạnh BD chung.

Dưới đây là các thông tin mà ta đã có:
- \( \angle ABD = \angle EBD \) (góc chung)
- \( AB = BE \) (cạnh tương ứng)
- \( BD \) là cạnh chung.

Vì vậy, theo tiêu chí góc-cạnh-góc (GCG), ta có \( \triangle BAD \cong \triangle BED \).

### b. Chứng minh góc BHF = góc BHC và BH vuông góc với FC

1. **Xét góc BHF và BHC**:
- Ta có \( BF = BC \) (theo đề bài).
- Để chứng minh \( \angle BHF = \angle BHC \), trước tiên ta chú ý rằng tri giác \( BF \) cắt \( BC \) tại \( H \) (giao điểm của đường thẳng BD và FC).
- Do \( BF \) kéo dài ra bên ngoài, và \( BD \) là phân giác, nên \( \angle BHF \) và \( \angle BHC \) là các góc đối đỉnh, do đó \( \angle BHF = \angle BHC \).

2. **Chứng minh BH vuông góc với FC**:
- Kể từ khi \( F \) là điểm trên tia đối với \( AB \), và \( H \) là giao điểm của BD và CF, ta có thể kết luận rằng BH vuông góc với CF, vì hai tia BD và CF tạo thành hai góc bổ sung khi cắt nhau.


### c. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng

1. **Góc BHF** và **góc BHC**: Vì \( \angle BHF = \angle BHC \) và rằng BH vuông góc với FC ở điểm H, ta tìm thấy rằng D nằm trên đường thẳng BC.
2. **Hình vuông**: Xét tam giác \( BHF \) với góc vuông, nhà xác định cho đường thẳng DF do điểm D nằm trên đường phân giác BD, điều này dẫn đến rằng E, D, F trên cùng một đường thẳng.

Từ đây, ta kết luận rằng ba điểm E, D, F đồng thẳng hàng.

### Kết luận
Các phần b) và c) đã rõ ràng cho thấy rằng góc BHF = BHC và BH vuông góc với FC. Đồng thời, ba điểm E, D, F cũng được khẳng định là thẳng hàng. Giải quyết được định lý và yêu cầu đã đưa ra.