a) Để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( 3n + 7 \) chia hết cho \( n - 1 \), ta có thể viết điều kiện này dưới dạng phương trình:

\[
3n + 7 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]

Điều này có nghĩa là \( 3n + 7 \) phải chia hết cho \( n - 1 \). Ta có thể thay thế \( n \) bằng \( k + 1 \) trong quá trình tìm kiếm, với \( k \in \mathbb{Z} \):

\[
n - 1 = k \Rightarrow n = k + 1
\]

Thay \( n \) vào phương trình \( 3n + 7 \):

\[
3(k + 1) + 7 = 3k + 3 + 7 = 3k + 10
\]

Chúng ta cần \( 3k + 10 \equiv 0 \mod k \). Bây giờ ta thực hiện phép chia:

\[
3k + 10 = qk \quad \text{với } q \in \mathbb{Z}
\]

ta cần tìm phần dư của \( 3k + 10 \) khi chia cho \( k \):

\[
3k + 10 \equiv 10 \mod k
\]

Ta muốn \( 10 \equiv 0 \mod k \), có nghĩa là \( k \) phải là ước số của 10. Các ước số của 10 là \( 1, 2, 5, 10 \), và tương ứng với từng giá trị của \( k \):

1. \( k = 1 \): \( n = 1 + 1 = 2 \)
2. \( k = 2 \): \( n = 2 + 1 = 3 \)
3. \( k = 5 \): \( n = 5 + 1 = 6 \)
4. \( k = 10 \): \( n = 10 + 1 = 11 \)

Sau khi tính toán, các giá trị tìm được cho \( n \) là \( 2, 3, 6, 11 \).

b) Để chứng minh rằng \( (7n + 10) \) và \( (5n + 7) \) là hai số nguyên tố cùng nhau khi \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \), chúng ta sẽ sử dụng định lý Euclid về GCD.

Ta có:

\[
d = \gcd(7n + 10, 5n + 7)
\]

Sử dụng thuật toán Euclid, ta có thể tính:

\[
d = \gcd(7n + 10, 5n + 7) = \gcd(7n + 10 - (5n + 7), 5n + 7)
\]
\[
= \gcd(2n + 3, 5n + 7)
\]

Tiếp tục thực hiện:

\[
d = \gcd(2n + 3, 5n + 7 - 2(2n + 3))
\]
\[
= \gcd(2n + 3, 5n + 7 - 4n - 6) = \gcd(2n + 3, n + 1)
\]

Tiếp tục tìm GCD:

\[
d = \gcd(2n + 3 - 2(n + 1), n + 1) = \gcd(2n + 3 - 2n - 2, n + 1) = \gcd(1, n + 1)
\]

Kết quả là \( d = 1 \). Do đó, \( 7n + 10 \) và \( 5n + 7 \) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán.