Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB=AM. Gọi I là trung điểm của BM, tia AI cắt cạnh BC tại N

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần:

### Phần a) Chứng minh tam giác AIB = tam giác AIM

Gọi \( O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABM \). Do \( AB = AM \), ta có \( OA = OA \) (đương nhiên), \( AB = AM \) và \( BM = BC \). Do đó, trên đường tròn ngoại tiếp, các góc \( AIB \) và \( AIM \) đều nhìn vào cạnh \( AB \), từ đó suy ra:
\[
\angle AIB = \angle AIM
\]
Vì \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BM \), ta cũng có:
\[
IB = IM
\]
Do đó, tam giác \( AIB \) và tam giác \( AIM \) là các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra:
\[
\angle IAB = \angle IAM
\]

### Phần b) Chứng minh \( BN = MN \)

Tia \( AI \) cắt cạnh \( BC \) tại điểm \( N \). Vì \( I \) là trung điểm của \( BM \), nên \( IB = IM \). Theo góc \( IAB = IAM \), ta có:
\[
\angle AIB = \angle AIM
\]
Sử dụng tính chất góc và cạnh đối diện của tam giác, chúng ta có:
\[
\frac{AB}{BM} = \frac{AN}{AM}
\]
Do \( AB = AM \) và \( IB = IM \), từ đó suy ra \( AN = MN \).

Bên cạnh đó, ta cũng có thể áp dụng Định lý Eo (chạy điều kiện ngược trong tam giác), dẫn đến kết quả:
\[
BN = MN
\]
vì hai tam giác \( IAB \) và \( IAM \) đồng dạng.

### Phần c) Chứng minh 3 điểm \( M, N, D \) thẳng hàng

Vì \( D \) là điểm trên tia đối của \( BA \) sao cho \( BD = MC \), chúng ta cần chỉ ra rằng các điểm \( M, N, D \) thẳng hàng.

Gọi \( O \) là giao điểm của \( AI \) với đường thẳng \( BC \) và là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Theo định nghĩa, ta có:
\[
D \in BD \text{ và } MC
\]
Do đó, \( D \) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \( M \) qua \( N \).

Từ các bằng chứng đã chỉ ra, ta có độ dài của các đoạn \( BN \) và \( MN \) bằng nhau, kết hợp với định nghĩa của điểm \( D \), cho nên điểm \( D \) đồng nằm trên đoạn thẳng kéo dài của đoạn \( MN \).

Vì vậy, các điểm \( M, N, D \) thẳng hàng.

### Kết

Chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.