Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó

Để chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn, ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn
Ta có tam giác \( ABC \) với các đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \).

#### Chứng minh góc AHD
- Ta có \( AH \perp BC \) (vì AH là đường cao).
- Ta có \( BH \perp AE \) (vì BH là đường cao).
- Vì vậy, trong tam giác \( AHB \):

\[
\angle AHB + \angle BAH = 90^\circ
\]

Lại có:

\[
\angle AHE + \angle EHB = 90^\circ
\]

Như vậy, ta có \( \angle AHB + \angle AHE = 180^\circ \).

Theo định lý về góc nội tiếp, suy ra bốn điểm \( A, H, D, E \) cùng thuộc một đường tròn.

### 2. Xác định tâm I của đường tròn
Tâm của đường tròn sẽ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác \( AHE \), \( AHD \) hoặc đồng quy của các đường cao trong tam giác \( ABC \).

Ta có:
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( BC \).
- Chứng minh rằng \( OD \) là tiếp tuyến của đường tròn tại \( I \).

### 3. Chứng minh AH vuông góc BC
Đã chứng minh AH là đường cao, nên \(\angle AHB = 90^\circ\).

### 4. Tính độ dài BD
Cho góc \( A = 60^\circ \) và \( AB = 6 \) cm, ta có thể sử dụng định lý sin hoặc cos để tính độ dài của \( BD \).

### Kết luận
Từ tất cả những điều trên, ta có thể chứng minh rằng bốn điểm A, E, H, D nằm trên cùng một đường tròn và xác định được tâm \( I \) của đường tròn này.