Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một cách chi tiết.

### a. Chứng minh \( OA \) vuông góc với \( BC \) và \( AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \)

1. **Chứng minh \( OA \) vuông góc với \( BC \)**:
- Vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến, nên \( OB \) vuông góc với \( AB \) và \( OC \) vuông góc với \( AC \).
- Xét tam giác \( OBC \), \( H \) là giao điểm của \( OA \) với \( BC \).
- Ta có \( \angle OBA = \angle OBC \) và \( \angle OCA = \angle OCB \), từ đó \( OA \) vuông góc với \( BC \).

2. **Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO \)**:
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( OA^2 = AB^2 + OB^2 = AC^2 + OC^2 \).
- Xét tứ giác \( AMON \), do \( OA \) là đường phân giác của góc \( \angle MAN \), ta có:
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO.
\]

3. **Chứng minh \( AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \)**:
- Ta có \( OA^2 = AH \cdot AO + AH^2 \).
- Từ đó, thay \( AH^2 = OA^2 - R^2 \) ta được:
\[
AH \cdot AO = AO^2 - R^2.
\]

### b. Chứng minh rằng K là trung điểm của CE

1. **Kẻ đường kính \( BD \)**:
- Bây giờ, \( E \) là hình chiếu của \( C \) trên đường kính \( BD \).
- Gọi \( K \) là giao điểm của \( AD \) và \( CE \).

2. **Chứng minh K là trung điểm của CE**:
- Do \( E \) là hình chiếu của \( C \) trên \( BD \), suy ra \( CE \) vuông góc với \( BD \).
- Từ \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( BC \) nên \( AH \) cắt \( BD \) tại một điểm, và ta có tứ giác \( ACHE \) là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó, theo định lý trung điểm trong tam giác \( ACE \) cho ta biết rằng \( K \) là trung điểm của \( CE \).

### c. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \( OB \), \( OC \) và cung lớn \( BC \)

1. **Diện tích hình quạt**:
- Bán kính \( OB \) và \( OC \) cắt nhau tại \( O \), góc giữa \( OB \) và \( OC \) là \( 2\theta \) (trong đó \( \theta = \angle AOB \)).
- Diện tích hình quạt được tính là:
\[
S = \frac{R^2}{2} \cdot 2\theta = R^2 \theta.
\]

2. **Diện tích hình tròn**:
- Diện tích hình tròn là:
\[
S_{\text{tròn}} = \pi R^2.
\]

3. **Diện tích của hình quạt lớn** được giới hạn bởi \( OB \), \( OC \) và cung \( BC \):
- Diện tích hình quạt lớn sẽ là diện tích hình tròn trừ đi diện tích hình quạt nhỏ:
\[
S_{\text{quạt lớn}} = \pi R^2 - R^2 \theta.
\]

Vậy ta có các kết quả cho bài toán như trên.