Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

**Giải thích:**

1. AM là đường trung tuyến, tức là M là trung điểm của BC.
2. MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC (theo đề bài).
3. Do đó, AD vuông góc với AM và AE vuông góc với AM.
4. Tứ giác ADME có 2 cặp cạnh vuông góc với nhau (AD ⊥ AM và AE ⊥ AM), và AM là cạnh chung giữa 2 góc vuông này.
5. Do đó, ADME là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng AM

**Chứng minh D, E là trung điểm:**

- Vì tứ giác ADME là hình chữ nhật, nên AD = ME và AB = AC (2 cặp cạnh đối diện bằng nhau).
- Theo định nghĩa, nếu 1 đoạn thẳng là cạnh của hình chữ nhật thì đoạn thẳng đó chính là trung bình cộng của 2 đoạn thẳng còn lại.
- Khi đó, cả D trên AB và E trên AC đều là trung điểm vì hai đường vuông góc từ trung điểm M đều đạt tiêu chí này trên hai cạnh AB và AC.

**Tính độ dài AM:**

Diện tích tam giác ABC là:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
Vì tam giác vuông tại A nên độ dài AM được tính bằng công thức:
\[
AM = \frac{1}{2} \cdot BC
\]
Vì BC = 10cm, do đó:
\[
AM = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \, \text{cm}
\]

### c. Dựng tia phân giác BN của góc ABC, ( N thuộc AC ). Xác định tỉ số diện tích của tam giác ABN và tam giác CBN khi AB = 6cm?

**Tiến hành dựng tia phân giác BN:**

1. Gọi BN là tia phân giác của góc ABC, ta biết theo định lý tia phân giác, tỉ lệ giữa diện tích hai tam giác được phân chia bởi tia phân giác này tỉ lệ với tỉ lệ giữa hai cạnh kề góc mà tia phân giác xuất phát.
2. Diện tích tam giác ABN và CBN tỉ lệ với độ dài AB và BC.

\[
\frac{\text{Diện tích tam giác ABN}}{\text{Diện tích tam giác CBN}} = \frac{AB}{BC}
\]

**Tính tỉ lệ này:**

Với AB = 6 cm và BC = 10 cm, tỉ lệ này là:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

### Kết luận

- Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Độ dài đoạn thẳng AM là 5 cm.
- Tỉ số diện tích của tam giác ABN và tam giác CBN khi AB = 6cm là \( \frac{3}{5} \).