Để chứng minh IB = 2IM trong tam giác BAI, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
Giả sử hình vuông ABCD có tọa độ:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)

Với M là trung điểm của AD, tọa độ của M là:
- M(0, a/2)

2. **Tìm phương trình các đường thẳng**:
- Đường thẳng AC có phương trình:
\( y = x \) (vì điểm A(0, 0) và điểm C(a, a) nằm trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ với độ dốc bằng 1)
- Đường thẳng BM có phương trình:
Tìm độ dốc của đường thẳng BM:
Độ dốc m của BM = \( \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{a/2 - 0}{0 - a} = -\frac{1}{2} \)
Do đó, phương trình đường thẳng BM là:
\[
y - 0 = -\frac{1}{2}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}
\]

3. **Tìm tọa độ điểm I (giao điểm AC và BM)**:
Đặt \( y = x \) vào phương trình BM:
\[
x = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} \Rightarrow \frac{3}{2}x = \frac{a}{2} \Rightarrow x = \frac{a}{3}
\]
Do đó, tọa độ của I là \( I\left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right) \).

4. **Tính độ dài IB và IM**:
- Khoảng cách IB:
\[
IB = \sqrt{\left(a - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(-\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}
\]
- Khoảng cách IM:
\[
IM = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{36}} = \sqrt{\frac{4a^2}{36} + \frac{a^2}{36}} = \sqrt{\frac{5a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{5}}{6}
\]

5. **So sánh IB và IM**:
- Từ hai kết quả trên ta có:
\[
IB = \frac{a\sqrt{5}}{3}, \quad IM = \frac{a\sqrt{5}}{6}
\]
- Rõ ràng, \( IB = 2 \cdot IM \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong hình vuông ABCD, khi M là trung điểm của AD và AC cắt BM tại I thì IB = 2IM.