Đây là một bài toán hình học khá thú vị, liên quan đến đường trung bình, hình bình hành và các tính chất trong tam giác vuông. Dưới đây là lời giải chi tiết:

a) Chứng minh MN // AC:

Giả thiết: M là trung điểm của HA, N là trung điểm của HC.
Chứng minh:
Xét tam giác AHC có M là trung điểm HA, N là trung điểm HC.
Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại.
Vậy MN // AC.
b) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành:

Giả thiết: BD // AC, BD = ½AC.
Chứng minh:
Ta đã chứng minh MN // AC (câu a). Mà BD // AC (giả thiết) nên MN // BD.
Vì N là trung điểm của HC nên HN = ½HC.
Vì MN là đường trung bình của tam giác AHC nên MN = ½AC. Mà BD = ½AC (giả thiết) nên MN = BD.
Tứ giác BMND có MN // BD và MN = BD.
Vậy tứ giác BMND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
c) Chứng minh góc AND = 90 độ:

Chứng minh:
Vì BMND là hình bình hành (chứng minh trên) nên MD // BN và MD = BN.
Xét tam giác AHC vuông tại H, N là trung điểm của HC. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có AN = NC = HN = ½HC. Do đó tam giác ANH cân tại N.
Suy ra ∠NAH = ∠NHA.
Vì AH ⊥ BC nên ∠AHB = ∠AHC = 90°.
Xét tam giác AHB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có: AB² = AH² + BH².
Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Pytago ta có: AC² = AH² + HC².
Xét tam giác BNC, ta có NH=NC=NB=1/2HC (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) suy ra tam giác BNC cân tại N. Suy ra góc NBC= góc NCB.
Vì BD // AC nên ∠DBC = ∠ACB (hai góc so le trong).
Suy ra ∠DBC = ∠NBC.
Mà tam giác BNC cân tại N suy ra góc NBC = góc BCN.
Do đó góc DBC = góc BCN.
Xét tam giác BND và tam giác CND có:
ND chung
BD=CN (vì cùng bằng 1/2 AC)
góc DBC = góc BCN (cmt)
Suy ra tam giác BND = tam giác CND (c.g.c)
Suy ra góc BND= góc CND.
Vì MNDC là hình thang có MN//CD suy ra góc MNC + góc NCD = 180 độ.
Mà góc MNC = góc BND + góc BNC.
Suy ra góc BND + góc BNC + góc NCD = 180 độ.
Mà góc BNC = 180 độ - 2 góc NCD.
Suy ra góc BND + 180 độ - 2 góc NCD + góc NCD = 180 độ.
Suy ra góc BND = góc NCD.
Mà góc BND = góc CND (cmt)
Suy ra góc CND = góc NCD.
Xét tam giác AND và tam giác CND có:
ND chung
AN=CN (cmt)
góc AND = góc CND (cmt)
Suy ra tam giác AND = tam giác CND (c.g.c)
Suy ra góc AND = góc CND.
Mà góc AND + góc CND = 180 độ.
Suy ra góc AND = góc CND = 90 độ.
Vậy góc AND = 90°.