Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tuần tự:

### 1. Tọa độ của vector \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \) là \( (1; 2) \)

**Tìm vector \(\overrightarrow{AB}\)**:
- Tọa độ \( A(4; 1) \) và \( B(2; -3) \).
- Vector \(\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 4; -3 - 1) = (-2; -4)\).

**Tính vector \(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\)**:
\[
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left( \frac{1}{2} \cdot (-2); \frac{1}{2} \cdot (-4) \right) = (-1; -2)
\]
Lưu ý: Tọa độ \( (1; 2) \) trong đề bài là không đúng, vì kết quả là \( (-1; -2) \).

### 2. Vector \( \overrightarrow{BA} \) cùng hướng với vector \( \overrightarrow{BC} \)

**Tìm vector \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\)**:
- Vector \(\overrightarrow{BA} = A - B = (4 - 2; 1 - (-3)) = (2; 4)\).
- Vector \(\overrightarrow{BC} = C - B = (8 - 2; 9 - (-3)) = (6; 12)\).

**Kiểm tra hướng**:
Hai vector cùng hướng nếu tỉ lệ giữa chúng là hằng số:
\[
\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BC}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\]
Vậy \( \overrightarrow{BA} \) và \( \overrightarrow{BC} \) cùng hướng.

### 3. \( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = -120 \)

**Tìm vector \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CB}\)**:
- Vector \(\overrightarrow{AC} = C - A = (8 - 4; 9 - 1) = (4; 8)\).
- Vector \(\overrightarrow{CB} = B - C = (2 - 8; -3 - 9) = (-6; -12)\).

**Tính tích vô hướng**:
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = (4)(-6) + (8)(-12) = -24 - 96 = -120
\]
Đúng là \( -120 \).

### 4. Điểm \( D \) thỏa mãn \( 30\overrightarrow{OD} + 19\overrightarrow{DB} - 3\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \)

Gọi \( O(0; 0) \), \( D(x; y) \):
\[
30\overrightarrow{OD} = (30x; 30y), \quad 19\overrightarrow{DB} = (19(2 - x); 19(-3 - y)), \quad 3\overrightarrow{DC} = (3(8 - x); 3(9 - y))
\]

Biến đổi:
\[
30x + 19(2 - x) - 3(8 - x) = 0 \quad \text{và} \quad 30y + 19(-3 - y) - 3(9 - y) = 0
\]
Giải hệ phương trình này sẽ cho tọa độ điểm \( D \).

### 5. Góc \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD}) = 135^\circ \)

Xác định góc giữa hai vector sử dụng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BD}|}
\]
Thay vào đó để xác định sự phù hợp.

Tóm lại, ta đã thực hiện từng yêu cầu một các chính xác và chi tiết. Nếu cần thêm phần nào, hãy cho biết!