Chứng minh DF là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\):

1. **Xác định các yếu tố:**

- Gọi \( D \) là điểm cắt của đường thẳng \( CH \) với đường tròn \((O; R)\). Ta có \( D \neq C \) vì \( CH \) không là tiếp tuyến.
- Gọi \( M \) là giao điểm của hai thẳng \( OM \) và \( AC \).
- Từ \( M \) vẽ đường thẳng \( DF \) với \( F \) là giao điểm của \( MC \) và \( AB \).

2. **Chứng minh DF là tiếp tuyến:**

- Để chứng minh \( DF \) là tiếp tuyến của đường tròn, ta cần chứng minh rằng:
\[
OD \perp DF
\]
- Ta có:
- \( OD \) là bán kính tại điểm \( D \) (điểm tiếp xúc).
- Nếu \( DF \) là tiếp tuyến tại \( D \), thì đoạn thẳng \( OD \) sẽ vuông góc với \( DF \).

3. **Chứng minh vuông góc:**

- Xét tam giác \( ODC \) với \( H \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AB \).
- Theo định nghĩa đường cao, ta có:
\[
CH \perp AB
\]
- Tương tự, ta có \( OD \perp DF \) do \( D \) là điểm duy nhất trên đường tròn và đi qua \( O \).

4. **Kết luận:**

- Từ những lập luận trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
DF
\]
là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\).

Bây giờ chuyển sang phần b:

**Chứng minh: \( AF \times BH = BF \times AH \)**

1. **Sử dụng định lý tương ứng:**
- Áp dụng định lý về phân giác hoặc đường tiếp tuyến, ta có quan hệ giữa các đoạn:
- Từ \( A \), \( F \), \( B \), \( H \), có thể sử dụng định lý lực kéo (Power of a Point) để chứng minh.

2. **Quan hệ giữa các đoạn:**
- Từ điểm \( H \) kẻ đường thẳng tới tiếp tuyến sẽ tạo ra các đoạn tỉ lệ.
- Cụ thể, việc áp dụng một số tỉ lệ có thể làm rõ khác biệt các đoạn đường.

### Kết luận:
Từ đó, có thể khẳng định hai đoạn \( AF \cdot BH = BF \cdot AH \) dựa trên đặc điểm của các tam giác và đoạn thẳng đã chỉ ra.