Chứng minh một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3

Để chứng minh rằng một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc chia cho 3.

Giả sử rằng chúng ta có một số nguyên dương \( n \) có thể biểu diễn dưới dạng:

\[
n = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10^1 + a_0
\]

Trong đó, \( a_i \) là các chữ số của số \( n \) và \( k \) là chỉ số của chữ số cao nhất của số đó.

Theo định nghĩa, tổng các chữ số của \( n \) sẽ là:

\[
S = a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng nếu \( S \) chia hết cho 3, thì \( n \) cũng chia hết cho 3.

### Bước 1: Phân tích modulo 3

Ta khảo sát số \( 10^i \) theo modulo 3:

- \( 10 \equiv 1 \mod 3 \)
- Do đó, với mọi \( i \), \( 10^i \equiv 1^i \equiv 1 \mod 3 \)

Điều này có nghĩa là:

\[
10^i \equiv 1 \mod 3 \text{ với mọi } i
\]

### Bước 2: Chuyển đổi \( n \) sang modulo 3

Bây giờ, ta sẽ xem xét \( n \) modulo 3:

\[
n \mod 3 = (a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10^1 + a_0) \mod 3
\]

Từ bước 1, ta có thể thay thế \( 10^i \) bằng 1:

\[
n \mod 3 = (a_k \cdot 1 + a_{k-1} \cdot 1 + \dots + a_1 \cdot 1 + a_0) \mod 3
\]

Hay nói cách khác:

\[
n \mod 3 = (a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0) \mod 3 = S \mod 3
\]

### Bước 3: Kết luận

Nếu \( S \) (tổng các chữ số của \( n \)) chia hết cho 3, tức là:

\[
S \equiv 0 \mod 3
\]

thì từ kết quả trên, ta có:

\[
n \mod 3 \equiv S \mod 3 \equiv 0
\]

Vậy nên, \( n \) cũng chia hết cho 3.

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng: một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3.