Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD, H là hình chiếu vuông góc của A trên SO. Xét các mệnh đề:

Phân tích: Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại O.

a) BD ⊥ (SAC)

• Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD.
• Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Do đó, BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SA và AC nằm trong mặt phẳng (SAC). Vậy BD ⊥ (SAC).

• Kết luận: Đúng.

b) BD ⊥ SC

Vì BD ⊥ (SAC) (chứng minh ở câu a) mà SC nằm trong mặt phẳng (SAC) nên BD ⊥ SC.

• Kết luận: Đúng.

c) CD ⊥ (SAD)

• Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
• Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD.

Do đó, CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SA và AD nằm trong mặt phẳng (SAD). Vậy CD ⊥ (SAD).

• Kết luận: Đúng.

d) AH ⊥ SB

Ta có AH ⊥ SO (theo đề bài). Ta cần xét xem AH có vuông góc với SB hay không.

Xét tam giác SAB, ta có SA ⊥ AB (vì SA ⊥ (ABCD)). Do đó tam giác SAB vuông tại A.

Ta thấy AH không nhất thiết vuông góc với SB. Ví dụ, nếu SA = AB thì tam giác SAB vuông cân tại A, và H trùng với A, khi đó AH không vuông góc với SB.

• Kết luận: Sai.

Tóm lại câu 9:

• a) Đúng
• b) Đúng
• c) Đúng
• d) Sai

Câu 10. Cho hình lập phương ABCD • A'B'C'D' có cạnh a. Xét các mệnh đề:

Phân tích: Hình lập phương có tất cả các mặt là hình vuông và các cạnh bằng nhau.

a) AD ⊥ (ABB')

• Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB.
• Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ AD.

Do đó, AD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và AA' nằm trong mặt phẳng (ABB'). Vậy AD ⊥ (ABB').

• Kết luận: Đúng.

b) (AD, AB) = 90°

Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB. Góc giữa hai đường thẳng AD và AB là 90°.

• Kết luận: Đúng.

c) BD ⊥ (AA')

Ta có AC ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông). Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ BD.

Do đó, BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và AA' nằm trong mặt phẳng (ACC'A'). Vậy BD ⊥ (ACC'A'). Mà (ACC'A') chứa AA', nên BD ⊥ AA'. Tuy nhiên đề bài hỏi BD ⊥ (AA'), điều này không đúng. BD chỉ vuông góc với đường thẳng AA', chứ không vuông góc với mặt phẳng chứa AA'.

• Kết luận: Sai.

Tóm lại câu 10:

• a) Đúng
• b) Đúng
• c) Sai