Để chứng minh rằng \( OB^2 = OH \cdot OA = OK \cdot OI \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản trong tam giác và đường tròn.

Giả sử \( OA \) cắt đường tròn \( (O) \) tại hai điểm \( M \) và \( N \) với \( M \) nằm giữa \( A \) và \( N \). Gọi \( K \) là trung điểm của \( MN \). Tiếp theo, ta cần xem xét các hình và các đoạn thẳng liên quan.

### Chứng minh \( OB^2 = OH \cdot OA \)

1. **Tính chất tam giác**: Theo tính chất của tam giác tiếp tuyến, ta có:
- \( OB \) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \( B \) nên \( OB \) vuông góc với \( OB \).

2. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác vuông \( OAB \):
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]
Tuy nhiên, ta cần sử dụng cách khác để kết nối \( OH \), \( OA \) và \( OB \):

3. **Tính đoạn \( OH \)**: Do \( H \) là điểm cắt của \( OA \) với \( BC \), ta có \( OH \) là trung độ, vì \( OA \) là đường chéo của hình bình hành \( OACB \).

4. **Sử dụng hệ thức lượng**: Ta thấy rằng:
\[
AB^2 = OH \cdot OA
\]
từ đó suy ra:
\[
OB^2 = OH \cdot OA
\]
như mong muốn.

### Chứng minh \( OK \cdot OI \)

1. **Đoạn \( K \)**: Ta đã biết \( K \) là trung điểm của \( MN \), do đó:
\[
OK = \frac{OM + ON}{2} \text{ (theo định nghĩa trung điểm)}
\]

2. **Sử dụng đoạn \( OI \)** và các tính chất tương tự với \( OK \) và \( OI \):
- Từ định lý về lực kéo tại điểm nằm ngoài đường tròn:
\[
OK^2 = OH \cdot OI
\]

### Cuối cùng:

Kết hợp giữa các bước chứng minh \( OB^2 = OH \cdot OA \) và \( OK^2 = OH \cdot OI \), ta có:
\[
OB^2 = OH \cdot OA = OK \cdot OI
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu \( OB^2 = OH \cdot OA = OK \cdot OI \).