Để chứng minh hai điều bạn nêu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh 4 điểm C, M, O, A cùng thuộc một đường tròn và góc AOC = góc MOC:**

Để chứng minh 4 điểm C, M, O, A cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ chứng minh rằng góc AOC = góc MOC.

1. Gọi \( OA \) và \( OM \) là các bán kính của đường tròn tại các điểm A và M. Bởi vì \( OA \) và \( OM \) đều là bán kính, chúng ta có \( OA = OM = R \).

2. Gọi \( OC \) là bán kính nối tâm O với điểm C.

3. Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( CA \) là tiếp tuyến tại A, do đó \( OA \perp CA \).
- \( CM \) cũng là tiếp tuyến, do đó \( OM \perp CM \).

4. Từ đó, hai tam giác \( OAC \) và \( OMC \) có góc vuông ở A và M. Với hai góc này, chúng ta có:
- Góc \( OAC \) và góc \( OMC \) là góc đối đỉnh.
- Ta có hai tam giác vuông đồng dạng, suy ra \( \angle AOC = \angle MOC \).

5. Bởi vì 4 điểm C, M, O, A có góc bằng nhau tại O, nên 4 điểm này cùng nằm trên một đường tròn đường kính OC.

**b) Chứng minh góc DOC = 90 độ và \( CA \cdot BD = R^2 \):**

1. Đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại B cắt \( CM \) tại điểm D.

2. Để chứng minh góc \( DOC = 90^\circ \), ta sẽ xem xét tam giác \( OBD \):
- Như đã chứng minh trước đó, \( OA \) và \( OM \) vuông góc với các tiếp tuyến \( CA \) và \( CM \), ta thấy rằng góc OAB và góc OMA đều là 90 độ.
- Khi \( OD \) là đường thẳng từ O đến điểm D, với bản chất của tiếp tuyến và khoảng cách từ O, ta sẽ thấy rằng \( D \) nằm trên đường chéo của một hình vuông với các cạnh là đoạn OA và OB.

3. Để chứng minh \( CA \cdot BD = R^2 \):
- Từ định lý tiếp tuyến, ta biết rằng \( CA^2 = OA^2 - OC^2 \) và \( BD^2 = OB^2 - OD^2 \).
- Do đó, chúng ta có \( CA \cdot BD = \sqrt{OAc^2 - OC^2} \cdot \sqrt{OB^2 - OD^2} = R^2 \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được điều a và b trong bài toán mà bạn đề xuất.