Gọi AD,BE,CFAD,BE,CF là các đường cao của tam giác ABCABC.

Ta có:

+) Do D∈BC→BC=BD+CD(1)D∈BC→BC=BD+CD(1)

+) Tứ giác BDHFBDHF nội tiếp vì: ˆBDH+ˆBFH=900+900=1800BDH^+BFH^=900+900=1800

⇒ˆCHD=ˆFBD⇒ˆCHD=ˆABC⇒CHD^=FBD^⇒CHD^=ABC^

+) Xét ΔCHD;ˆCDH=900;ˆCHD=ˆABCΔCHD;CDH^=900;CHD^=ABC^

⇒CD=CH.sinˆCHD⇒CD=CH.sinB(2)⇒CD=CH.sin⁡CHD^⇒CD=CH.sin⁡B(2)

Chứng minh tương tự với tứ giác CEHDCEHD và tam giác BHDBHD ta có: BD=BH.sinC(3)BD=BH.sin⁡C(3)

Từ (1),(2),(3)(1),(2),(3) ⇒BC=BH.sinC+CH.sinB⇒BC=BH.sin⁡C+CH.sin⁡B

Ta có đpcm