Bài 4. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình: 
\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr
y = 2 - 2t \hfill \cr
z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d\) và \(AB\) cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm \(I\) trên \(d\) sao cho \(AI + BI\) nhỏ nhất.
Giải
a) Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} =(6; -4; 4)\)
Đường thẳng \((d)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3; -2; 2)\)
Xét vectơ
\(\overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{
- 4 \hfill \cr 
- 2 \hfill \cr} \right.} \right.\)\(\left. \matrix{
4 \hfill \cr
2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4 \hfill \cr
2 \hfill \cr} \right.\)\(\left. \matrix{
6 \hfill \cr 
3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
6 \hfill \cr 
3 \hfill \cr} \right.\)\(\left. {\left. \matrix{
- 4 \hfill \cr 
- 2 \hfill \cr} \right|} \right)\) = \(( 0; 0; 0)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n  = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng. Ta lại có:
\(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow a \)  và  \(A ∉ (d)\)
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a \) cùng phương \( \Rightarrow  AB\) và \((d)\) song song với nhau.
b) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A'B\) và đường thẳng \(d\).
Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):
\(3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0\) \( \Rightarrow  3x - 2y + 2z - 14 = 0\)
Phương trình tham số của \((d)\):\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 3t \hfill \cr 
y = 2 - 2t \hfill \cr 
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:
\(3( -1 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(2 + 2t) - 14 = 0\) \( \Rightarrow  t = 1\)
Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)