a) Xét ΔΔ vuông AOMAOM và ΔΔ vuông AONAON có:

AO chung

AM=ANAM=AN (=AB2=AC2)(=AB2=AC2)

⇒ΔAOM=ΔAON⇒ΔAOM=ΔAON (ch-cgv)

⇒OM=ON⇒OM=ON (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Do P là trung điểm của BC⇒APBC⇒AP là trung tuyến ΔABC đều ⇒AP là đường cao ⇒AP⊥BC (1)

Mà O là giao điểm của 2 đường trung trực và P là trung điểm của BC⇒OP là đường trung trực của ΔABC⇒OP⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AP//OP (⊥BC)

⇒A,O,P thẳng hàng (đpcm

c) ΔABC có O là giao của 2 đường trung trực nên O cách đều 3 đỉnh của tam giác nên OA=Oc

và do ΔABC đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác nên ˆOAD=ˆOCE=ˆA2=ˆC2=60o2=30oOAD^=OCE^=A^2=C^2=60o2=30o

Xét ΔAOD và ΔCOE có:

AO=OC (cmt)

ˆOAD=ˆOCE (cmt)

AD=CE (giả thiết)

⇒ΔAOD=Δ EOC(c.g.c)

⇒ˆDOA=ˆEOC (hai góc tương ứng)

Ta có: DOE^=DOA^+AOE^

=ˆEOC+ˆAOE=ˆAOC=180o−(ˆOAC+ˆOCA)

=180o−(ˆA2+ˆC2)=180o−(30o+30o)=120o

Vậy ˆDOE=120o