1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

 có nghĩa khi 

2. Các công thức biến đổi căn thức.

3. Hàm số  

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hàm số 

- Tính chất

+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 và 

(d) và (d') cắt nhau ⇔ a ≠ a'

(d) // (d') ⇔ a = a' và b ≠ b'

(d) ≡ (d') ⇔ a = a' và b = b'

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng  và 

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm

(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm

(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai 

Công thức nghiệm

- Nếu Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

- Nếu  Phương trình có nghiệm kép :

- Nếu  phương trình vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

- Nếu  Phương trình có 2 nghiệm

- Nếu  phương trình có nghiệm kép

- Nếu : Phương trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.

- Hệ thức Viet:

Nếu  là nghiệm của phương trình bậc hai  thì

- Một số ứng dụng:

+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: 

(Điều kiện S2- 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 

Nếu  thì phương trình có hai nghiệm 

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm:  

9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....

Cộng trừ các số hạng đồng dạng.

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

- Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

- Rút gọn biểu thức A(x).

Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B

Một số phương pháp chứng minh:

- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

A = B ⇔ A - B = 0

- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.

A = A1 = A2 = ... = B

- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.

- Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.

A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ...... ⇔ (*) (*) đúng do đó A = B

- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

Một số bất đẳng thức quan trọng:

Bất đẳng thức Cosi:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Dạng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

Bài toán 1: giải các phương trình bậc 2: ax2 + bx + 2

- Các phương pháp giải:

- Phương pháp 1 : Phân tích đưa về phương trình tích.

- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có 

+ Nếu : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

+ Nếu  : Phương trình có nghiệm kép

+ Nếu  : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có  với 

+ Nếu  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

+ Nếu : Phương trình có nghiệm kép

+ Nếu  : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 5: Nhầm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu  là nghiệm của phương trình bậc hai  thì:

Chú ý: Nếu a, c trái dấu túc là a.c <0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán 2:

- Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a. Trường hợp  với vài giá trị nào đó của m. Giả sử  ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất 

+ Nếu  với  có một nghiệm 

+ Nếu  và c =0 với  vô định  vô định

+ Nếu  và vói  vô nghiệm  vô nghiệm

b. Trường hợp  : Tính  hoặc 

Nếu  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu : Phương trình có nghiệm kép : Nếu  : Phương trình vô nghiệm + Tính 

Nếu  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu : Phương trình có nghiệm kép:  Nếu : Phương trình vô nghiệm Ghi tóm tắt phần biện luận trên.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai  (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm. Có hai khả năng để phương trình bậc hai  có nghiệm:

1. Hoặc 

2. Hoặc  hoặc 

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2 .

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt  hoặc 

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai  (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Q Điều kiện có một nghiệm:

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số  (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép.

Điều kiện có nghiệm kép: 

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai  (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. -

- Điều kiện có một nghiệm: hoặc 

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai  (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

- Điều kiện có một nghiệm:  hoặc  hoặc 

- Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: hoặc 

Bài toán 10: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai  (a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm dương.

Điều kiện có hai nghiệm dương:  hoặc