n^2+n+2=n(n+1)+2
để n(n+1)+2 là số chính phương thì n+1=2 vì n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
vậy n=2
câu2:đk là a+b+c=3
đặt x=a-1,y=b-1,c=z-1 ta có x+y+z=0
và x^3+y^3+z^3=xyz
bạn tự giải tiếp nha?

Bài 2
Câu d:
ta có
n^5 - n + 2 = (n - 1)*n*(n + 1)*(n^2 + 1) + 2
do (n - 1)*n*(n + 1) là tích của 3 sô liên tiếp nên chia hết cho 3
=> n^5 - n + 2 = 3k + 2
=> n^5 - n + 2 chia 3 dư 2
+ xét các sô chính phương có dạng (3n)^2
(3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 và (3n + 2)^2 = 9n^2 + 6n + 4
=> các sô chính phương chia 3 dư 0 hoạc 1
Vậy không tồn tại n để n^5 - n + 2 là số chính phương

Xét n=0;1;2 thấy n=2 thỏa mãn.
Với n lớn hơn 2, có:(n^2−1)^2<n^4−n+2<(n^2+1)2
⇒n^4=n^4−n+2⇔n=2(n^2−1)^2<n^4−n+2<(n^2+1)2
⇒n^4=n^4−n+2⇔n=2(Loại)
Vậy với n=2 thì thỏa mãn số cần tìm!!!

Bài 2 câu a là n^2-n+2 đâu phải n^2+n+2 đâu Thành Trương

Xét p=2, ta có: 4p+1=9 là số chính phương.
Xét p>2,vì p là số nguyên tố nên p=2k+1(k∈N∗)
Ta có: 4p+1=4(2k+1)+1=8k+5
Mặt khác 4p+1 là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1.
Do đó với p>2 thì 4p+1 không là số chính phương.
Vậy số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương là 2.

Có 4p+1 là 1 số chính phương lẻ nên 4p+1=8k+1 suy ra p=2k, p nguyên tố, suy ra p = 2.