Chứng minh rằng H là một nhóm con của G

Xin mọi người cho mình bài giải ạ
----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
09:30
KT_DSDC1_20..
KIỂM TRA GIỮA HỌC PHẦN HỆ ĐẠI HỌC
KHÓA 10 - NGÀNH SP. TOÁN HỌC
MÔN: ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG 1
Thời gian: 60 phút (không kể phát đề)
Câu 1 (2 điểm). Cho f : G K là một đồng cấu nhóm. Dặt H = {g €G| f(g) = e},
trong đó e là phần tử don vị của nhóm K. Chứng minh rằng H là một nhóm con của G.
=
=
Câu 2 (2 điểm). Cho G là một nhóm và X,Y là hai nhóm con của G. Chứng minh rằng
XUY là một nhóm con của G khi và chi khi X CY hoặc Y C X.
Câu 3 (2 điểm). Cho G là một nhóm hữu hạn có đơn vị là e. Giả sử A, B là hai nhóm con
của G lần lượt có cấp là m, n thỏa m, n nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng AnB {e}.
Câu 4 (2 điểm). Cho G là một nhóm và N là một nhóm con của G có chỉ số bằng 2.
Chứng minh rằng N là một nhóm con chuẩn tắc của G.
Câu 5 (2 điểm). Cho G là một nhóm và ge G. Đặt C(g) = {a € G| ag = ga, Va E G}.
Ta gọi C(g) là tâm hóa tử của g trong G.
a) Chứng minh rằng C(g) là một nhóm con của G.
b) Tim tâm hóa tử của ma trận A =
3
trong nhóm tuyến tính tổng quát GL2(R)
gồm các ma trận vuông cấp hai khả nghịch trên tập các số thực R.
(Thí sinh được sử dụng tài liệu)