a) xét ΔABD và ΔEBD có
BE=BA (gt)
∠ABD=∠ABD (gt)
BD là cạnh chung
=> ΔABD=ΔEBD (cạnh góc cạnh )
b) ta có ΔABD=ΔEBD (cm câu a)
=> AD=ED ( hai cạnh tương ứng )
BED=BAD=90 ( 2 cạnh tương ứng )
vậy BE⊥BC 
c) gọi O là giao điểm của BD và AE
xét ΔBEO và ΔBAO có 
 là cạnh chung
BE=BA 
∠ABD=∠EBD
=>ΔBEI=ΔBAI (c.g.c)
vậy EI=AI (cạnh tương ứng) (1)
∠EOB=∠AOB ( 2góc tương ứng )
mà ∠DOE=∠AOB=∠EOB=∠DOA=90 (2)
từ (1)(2) suy ra DB là đường trung trực của AE
d) Xét hai tam giác vuông ΔCDE và tam giác vuông ΔADF có 
EC=AF (gt) 
ED=AD ( cm câu a )
=>ΔCDE và ΔADF  ( hai cạnh góc vuông)
Vậy ∠ADF=∠EDC ( 2 góc tương ứng ) (3) 
ta có
∠ADE+∠EDC=180 ( D∈AC nên A,D,C thẳng hàng ) (3)
từ (3)(4) suy ra ABF+ADE=180
vậy E,D,F thẳng hàng