Trang chủ
Giải bài tập Online
Flashcard - Học & Chơi
Dịch thuật
Cộng đồngTrắc nghiệm tri thức
Khảo sát ý kiến
Hỏi đáp tổng hợp
Đố vui
Đuổi hình bắt chữ
Quà tặng và trang trí
TruyệnThơ văn danh ngôn
Xem lịchCa dao tục ngữXem ảnhBản tin hướng nghiệp
Chia sẻ hàng ngày
Bảng xếp hạngBảng Huy hiệuLIVE trực tuyếnĐề thi, kiểm tra, tài liệu học tập
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Cho ∠xAy = 500. Từ điểm C nằm trong góc đó vẽ CB ⊥ Ax (B ∈ Ax), CD ⊥ Ay (D ∈ Ay).
a) Tính số đo ∈BCD.
b) Tính các góc ngoài của tứ giác tại đỉnh B và đỉnh C.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠A + ∠B + ∠C +∠D= 360o (Tổng các góc của tứ giác)
=> ∠C = 360o – (∠A + B∠ + D∠) = 360o – (55o + 90o + 90o) = 125o.
b) Ta có: ∠xBC = 180o - ∠ABC = 180o - 90o = 90o
∠zBC = 180o - ∠BCD = 180o - 125o = 55o .
Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của hai đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm của AD, AC và BD; MN cắt AB, CD theo thứ tự ở E và F. Khi đó MI là đường trung bình của ∆ACD
Nên MI // CD và MI = CD/2 .
Tương tự NI // AB và NI = AB/2 , mà AB = CD (gt)
=> MI = NI hay ∆IMN cân
=> ∠IMN = ∠INM, mà IN //AB (cmt)
=> ∠INM = ∠BEN (so le trong).
Tương tự => ∠IMN = ∠CFM. Do đó => ∠BEN = ∠CFN.
Các đường phân giác trong của tứ giác ABCD tạo thành một tứ giác.
Chứng minh rằng tứ giác đó có các góc đối bù nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi MNPQ là tứ giác được tạo thành, ta có:
Vậy tứ giác MNPQ có các góc đối bù nhau.
Tứ giác ABCD có các góc đối bù nhau. Các cạnh AD và BC cắt nhau tại E; AB và DC cắt nhau tại F. Phân giác của hai góc CED và AFD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng FM ⊥ EM.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của EM với AB và DC.
Ta có: ∠FIK = ∠E1 + ∠B1 (góc ngoài của ∆EIB)
∠FKI = E2 + ∠D (góc ngoài của ∆EKD)
Mà ∠E1 = ∠E2 (giả thiết)
∠E1 + ∠D (cùng bù với ∠ABC)
=> ∠FIK = ∠FKI
Hay ∆FIK cân tại F.
Trong tam giác cân FIK có FM là phân giác nên FM cũng là đường cao. Suy ra FM ⊥ IK hay FM ⊥ EM.
Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E, phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F.
Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét ∆ABE có:
Chứng minh tương tự ta có:
Cho tứ giác ABCD có CB = CD, đường chéo BD là tia phân giác của góc ∠ADC . Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Đáp án và Hướng dẫn giải
∆ BCD cân tại C (CB = CD)
=> ∠B1 = ∠D2 mà ∠D1 = ∠D2 (gt) => ∠B1 = ∠D1
Mà ∠B1 và ∠D1 ở vị trí so le trong => BC // AD
Vậy ABCD là hình thang.
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
Chứng minh rằng BCDE là hình thang.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có AD = AC (gt) => ∆ACD cân tại A
Tương tự ∆ABE cân tại A
Mà ∠DAC = ∠BAE (đối đỉnh) => ∠B1 = ∠D1.
Mà ∠B1 và ∠D1 ở vị trí so le trong => BE // CD
Vậy BECD là hình thang.
Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD), các tia phân giác của các góc A và D cắt nhau tại I, các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại J.
a) Chứng minh AI ⊥ DI và BJ ⊥ CJ.
b) Gọi E là giao điểm của AI và BJ, giả sử E thuộc cạnh CD. Chứng minh: CD = AD+ BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) ∠A1 = ∠A2 (gt)
∠D1 = ∠D2 (gt) mà ∠A = ∠D =180o
=> ∠A1 + ∠D1 = 90o
Trong ∆AID => ∠AID = 180o - 90o = ∠90o
hay AI ⊥ DI. Tương tự ta chứng minh được BJ ⊥ CJ.
b) Xét ∆ADE có phân giác DI đồng thời là đường cao (cmt)
=>∆ADE cân tại D => AD = DE. Tương tự ta có BC = EC
mà DC = DE + EC => DC = AD + BC (đpcm).
Cho hình thang ABCD (AB // CD) trong đó hai đường phân giác của các góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên bằng cạnh đáy CD của hình thang.
Đáp án và Hướng dẫn giải
AB // CD (gt) => ∠A2 = ∠K1 mà ∠A1 = ∠A2 (gt)
=> ∠A1 = ∠K1 nên ∆ADK cân tại D
=> DA = DK.
Tương tự ∆BCK cân tại C
=> CB = CK mà DK + CK = CD
=> DA + CB = CD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ∠A - ∠D = 40o và ∠B = 3∠C. Hãy tính các góc của hình thang.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ∠A - D∠ = 40o (gt) => ∠A = 40o + ∠D (1)
AB // CD (gt) => ∠A + ∠D = 180o (2)
Thế (1) vào (2) ta có : 40o + ∠D + ∠D = 180o
=> 2∠D = 180o – 40o => ∠D = 70o => ∠A = 110o.
Lại có: ∠B + ∠C = 180o mà ∠B = 3∠C (gt)=> 3∠C + ∠C = 180o
=> 4∠C = 180o => ∠C = 45o.
Do đó : ∠B = 3.45o = 135o.
Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có AB = AD và BD = CD. Hãy tính các góc của hình thang cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Cho tam giác đều ABC. Vẽ đường vuông góc với BC tại C cắt AB tại E. Vẽ đường vuông góc với AB tại A cắt BC tại F, Chứng minh ACFE là hình thang cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của AF và CE
Ta có hai tam giác vuông BAI và BCI bằng nhau (cạnh huyền – góc vuông) => IA = IC
Xét hai tam giác vuông BAI và BCI, ta có:
IA = IC (cmt)
∠AIE = ∠CIF
∠IAE = ∠ICF = 90o
Suy ra ∆AIE = ∆CIF (c.g.c) => AE = CF mà BA = BC ( gt)
=> AE + BA = CF + BC hay BE = BF
Do đó ∆EBF có ∠B = 60o (gt) nên đều => ∠E = ∠F = 60o
=> ∠E = ∠BAC => AC // EF (cặp góc đồng vị bằng nhau) hay ACFE là hình thang cân
Tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của CA lấy N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.
a) Chứng minh IE =IF
b) Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = CN. Chứng minh BMDC là hình thang cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó ∆MEB=∆INF (cạnh huyền – góc nhọn) => IE = IF
CD = CN MÀ CN = BM (gt)
=> BM = CD mà AB = AC
=> AB – BM = AC – CD hay AM = AD
=> ∆ AMD cân tại A nên :
Mặt khác ∆ ABC cân tại A
Do đó ∠AMD = ∠ABC => MD//BC hay BMDC là hình thang có ∠B = ∠C
Cho tam giác ABC cân ở A. M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy N. BN cắt AC ở D, CN cắt AB ở E. Chứng minh BEDC là hình thang cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
∆ ABC cân có AM là đường trung tuyến (gt) => AM cũng là đường trung trực của BC
N thuộc AM => NB = NC hay ∆ NBC cân tại N => ∠B1 = ∠C1
Xét ∆ BEC và ∆CDB có BC chung, ∠B1 = ∠C1 (gt)
∠B1 = ∠C1 (cmt) => ∆ BEC= ∆CDB (g.c.g)
=> EB = DC
Mà AB = AC (gt) => AB – EB = AC – DC
Hay AE = AD
Từ đó ∆AED cân tại A
Do đó ED // BC (cặp góc đồng vị bằng nhau)
Lại có ∠B = ∠C (gt). Vậy BEDC là hình thang cân
Cho hình thang ABCD cân (AB // CD) và ∠D = 60o, AD = AB.
a) Chứng minh rằng: BD là tia phân giác của góc ADC
b) Chứng minh: BD ⊥ BC
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠B1 = ∠D2 (so le trong)
AB = AD (gt) nên ∆ABD cân tại A
=> ∠B1 = ∠D1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠D1 = ∠D2 hay BD là tia phân giác của góc ADC
b) Ta có: ∠BCD = ∠ADC = 60o (hai góc kề đáy của hình thang cân)
Mà BD là tia phân giác của góc ADC nên ∠D1 = ∠D2 = 30o
Trong ∆ DBC ta có ∠DBC = 180o-(∠D2 - ∠BCD)
∠DBC= 180o – (30o + 60o)
∠DBC= 90o , chứng tỏ BD ⊥ BC
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của đường cao AH. D là giao điểm của CM và AB.
a) Gọi N là trung điểm của BD. Chứng minh rằng HN // DC
b) Chứng minh AD = AB/3
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) ∆ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của BC. N trung điểm của BD nên HN là đường trung bình của ∆BCD => HN // DC
b) Ta có N là trung điểm của BD (gt)
Hay NB =ND (1)
Mặt khác M là trung điểm của AH (gt), CD // NH (cmt) hay MD // NH
Do đó DM là đường trung bình của ∆ANH => D là trung điểm của AN hay ND = AD (2)
Từ (1), (2) suy ra AD = ND = NB hay AD = AB/3v
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC và BC. Gọi I là giao điểm của AP và MN. Chứng minh IA = IP; IM = IN
Đáp án và Hướng dẫn giải
MN là đường trung bình của ∆ABC => MN // BC
I là giao điểm của MN với AP nên MI // BC.
Do đó MI là đường trung bình của ∆ABP
=> I là trung điểm của AP là IA = IP và MI = BP/2
Tương tự NI cũng là đường trung bình của ∆APC
=> IN = PC/2 mà PB = PC (gt) => IM = IN
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, kẻ DH ⊥ AC. Gọi I là trung điểm của DH, M là trung điểm của HC. Chứng minh:
a) IM ⊥ AD
b) AI ⊥ DM
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có I, M lần lượt là trung điểm của HD và HC nên IM là đường trung bình của ∆HDC
=> IM // DC mà AD ⊥ BC (gt)
=> IM ⊥ AD
b) I là trực tâm của ∆ADC ( vì I là giao điểm của hai đường cao DH và MI)
=> AI ⊥ DM
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a) ΔBAE= ΔCAD
b) ΔMDC cân
c) HK = HC
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: AB = AC, AE = AD (gt). Vậy ΔBAE = ΔCAD (c.g.c)
b) Ta có ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh) => ∠B1 = ∠M1 (cùng phụ với ∠D1 và ∠ D1)
Mà ∠B1 = ∠C1 (cmt)
=> ∠M1 = ∠C1 hay ΔMDC cân tại D
ΔMDC cân tại D nên đường cao DA đồng thời là đường trung tuyến hay A là trung điểm của MC.
Lại có AH // MK ⊥ BE
Do đó AH là đường trung bình của ΔMCK => H là trung điểm của KC hay HK = HC
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD, và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của ∆EFK.
b) ∆HCD cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có E, K lần lượt là trung điểm của BD và CD nên EK là đường trung bình của ∆BCD
=> EK // BC mà HF ⊥ BC (gt)
=> HF ⊥ EK
Chứng minh tương tự ta có EH ⊥ FK. Do đó H là trực tâm của ∆EFK
b) Gọi I là trung điểm của AD, ta có IE là đường trung bình của ∆ABD
=> IE // AB // CD (1)
Và IF là đường trung bình của ∆ACD => IF // DC (2)
Từ (1) và (2) => IF và EF phải trùng nhau (tiên đề Ơclit) hay ba điểm I, E, F thẳng hàng
Hay EF // DC mà KH ⊥ EF (H là trực tâm của ∆EFK) => KH ⊥ DC
Vì vậy xét ∆DHC có đường trung tuyến HK đồng thời là đường cao nên ∆DHC cân
Cho hình thang ABCD (AB // CD) và AB = BC
a) Chứng minh: CA là tia phân giác của ∠BCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC, BD. Chứng minh rằng M, N, E, F thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có AB = BC nên ∆ABC cân
=> ∠A1 = ∠C1
AB // CD (gt) => ∠A2= ∠C2 (so le trong)
Do đó ∠C1 = ∠C2 chứng tỏ CA là tia phân giác của ∠BCD.
b) M, E lần lượt là trùn điểm của AD và AC nên ME là đường trung bình của ∆ADC
=> ME // DC (1)
Tương tự ta có NE là đường trung bình của ∆ABC
=> NE // AB // DC (2)
Từ (1) và (2) => ME và NE phải trùng nhau (tiên đề Ơclit) hay ba điểm M, E, N thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta có M, E, F thẳng hàng
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, L lần lượt là trung điểm của AB, AD và đường chéo AC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC tại H
Chứng minh rằng: H là trực tâm của tam giác MNL
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có AC ⊥ BD (giả thiết) hay HL ⊥ BD mà MN // BD (MN là đường trung bình của ΔABD) => HL ⊥ MN (1)
Lại có MH ⊥ CD (giả thiết)
NL // CD (NL là đường trung bình của ΔACD)
=> MH ⊥ NL (2)
Từ (1) và (2) ta có H là trực tâm của ΔMNL.
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE và CD. Và M, N theo thứ tự là giao điểm của IK với BD và CE. Chứng minh IM = MN = NK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ED là đường trung bình của ∆ABC nên
ED // BC và ED = BC/2 (1)
=≠ BEDC là hình thang có I, K lần lượt là trung điểm của BE và CD nên IK là đường trung bình của hình thang BEDC
=≠ IK // ED và BC.
Trong ∆BED có IM là đường trung bình nên
IM // ED và IM = ED/2 (2)
Từ (1) và (2) =≠ IM = BC/4 (3)
Trong ∆BEC cũng có IN là đường trung bình nên
IN // BC và IN = BC/2 (4)
Từ (3) và (4) =≠ MN = BC/4
Tương tự trong ∆CDE ta có: NK = ED/2 =≠ NK = BC/4.
Vậy IM = MN = NK.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh AD lấy hai điểm I và K sao cho AI = IK = KD. Từ I và K kẻ các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC theo thứ tự tại F và H.
a) Chứng minh : BF = FH = HC.
b) Cho CD = 8cm; IF = 6cm. Tính AB và HK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy ABHK; IFCD cũng là các hình thang.
Ta có I là trung điểm của AK (gt)
IF // AB (gt)
=> IF là đường trung bình của hình thang ABHK
=> F là trung điểm của HK hay BF = FH.
Tương tự trong hình thang IFCD ta có KH là đường trung bình nên
FH = HC => BF = FH = HC.
b) Ta có :
Trong hình thang ABHK, IF là đường trung bình:
=> 2.6 = AB + 7 => AB = 5 (cm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các tia phân giác của các góc A và D cắt nhau tại I, và của các góc B và C cắt nhau tại J. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có:
Lại có M là trung điểm của AD(gt) nên MI là trung tuyến của tam giác vuông AID nên MI = MD hay ∆ DMI cân tại M
do đó MI // DC
Vì MN là đường trung bình của hình thang nên MN // CD. Vậy MI và MN phải trùng nhau (tiên đề Ơclit) hay ba điểm M, I, N thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta được M, I, J, N thẳng hàng. Vậy bốn điểm M, I, J, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ đường thẳng d qua điểm I của AM, cắt các cạnh AB, AC. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên d.
Chứng minh: BB’ + CC’ = 2AA’
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: BB’ ⊥ d => BB’ // CC’nên BB’CC’ là hình thang.
M là trung điểm của BC (gt)
MM’ ⊥ d => MM’ // BB’ // CC’ nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’
MM’ = (BB’ + CC’)/2 => BB’ + CC’ = 2MM’
Lại có ΔAA’I = ΔMM’I (cạnh huyền – góc nhọn) => AA’ = MM’
Vậy BB’ + CC’ = 2AA’
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng HK. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh ∆MKH cân
b) Chứng minh DK = HE
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: MH, MK là các trung tuyến của các tam giác vuông BHC và BKC có chung cạnh huyền BC nên MH = MK. Vậy ∆MKH cân
b) Kẻ MI ⊥ DE, ta có MI là đường trung bình của hình thang vuông BDEC
=> I là trung điểm của DE hay ID = IE (1)
Mặt khác ∆MKH cân có đường cao MI đồng thời là trung tuyến nên IK=IH (2)
Từ (1) và (2) => ID – IK = IE – IH hay DK = HE
Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 2cm, CD = 5 cm, AD=3 cm và ∠D = 60o
Đáp án và Hướng dẫn giải
Dựng tam giác ADC biết AD = 3cm, ∠D = 60o và DC = 5cm, cần xác định đỉnh B.
- B thuộc tia Ax song song với CD
- B thuộc đường trong tâm A bán kính 2cm => B là giao điểm của tia Ax và (A ; 2cm)
Ta được hình thang ABCD cần dựng
Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 1, 5cm, CD = 3, 5 cm, CD = 3, 5 cm ; ∠C = 45o ; ∠D = 60o
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ AE // BC => ∠AED = 45o
Và DE = DC – EC = DC – AB = 3,5 – 1,5 = 2cm nên ∆ADE được dựng.
- Dựng ∆ADE biết DE = 2cm, ∠D = 60o; ∠E = 45o
- Trên tia DE lấy C sao cho DC = 3,5 cm. Cần xác định đỉnh B
- B thuộc tia Ax // CD.
- B thuộc tia Cy mà ∠DCy = 45o
Lấy B là giao điểm của Ax và Cy ta được hình thang ABCD cần dựng.
Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết AB = a, đường chéo AC = m, góc giữa hai đường chéo là α.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Giả sử hình thang cân ABCD đã dựng được ta thấy tam giác cân AOB dựng được ngay biết AB = a, ∠AOB = α
Cần xác định hai đỉnh C và D.
+ D thuộc tia BO sao cho BD = m
+ C thuộc tia AO sao cho AC = m.
Từ đó dựng ∆AOB biết:
- Lấy D thuộc toa BO sao cho BD = m
- Lấy C thuộc tia AO sao cho AC = m
Ta được hình thang ABCD cần dựng
Khi 0 < α < 180o bài toán luôn có nghiệm hình.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. G là giao điểm của AH và CM, BG cắt AC tại N.
a) Chứng minh BMNC là hình thang cân.
b) Đường thẳng qua N và song song với MC cắt đường thẳng BC tại P. chứng minh tam giác BNP cân
c) Chứng minh rằng 9MN2 = PB2
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) ΔABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến.
M là trung điểm của AB (gt) => CM là trung tuyến của ΔABC
G là giao điểm của AH và CM nên G là trọng tâm của ΔABC
=> BG là trung tuyến thứ ba nên N là trung điểm của AC
Ta có MA = MB = AB/2, NA = NC hay ΔAMN cân tại A
=> MN // BC (cặp góc đồng vị bằng nhau)
Do đó BMNC là hình thang. Lại có ∠B = ∠C nên BMNC là hình thang cân
b) Xét ΔBGC có GH là đường cao đồng thời là trung tuyến (cmt) nên ΔBGC cân tại G => ∠B1 = ∠C1 mà NP // MC (gt)
=> ∠C1 = ∠P (cặp góc đồng vị) => ∠B1 = ∠P hay ∆BNP cân tại N
c) Ta có: MNPC là hình thang có hai cạnh bên MC//NP nên MN = CP
Lại có MN = BC/2 (MN là đường trung bình của tam giác ABC)
Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.
b) Chứng minh rằng: BC = BE + CF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) E đối xứng với H qua AB nên AE = AH. Do đó ∆EAH cân có đường cao AB đồng thời là phân giác của ∠EAH hay ∠A1 = ∠A2.
Tương tự: ∠A3 = ∠A4 , mà ∠A2 + ∠A3= 90o (gt)
=> ∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ∠A4 = 180o => E, A, F thẳng hàng
AE = AH (cmt). Tương tự AH = AF (tính chất đối xứng) =>AF = AE
Vậy A là trung điểm của đoạn EF.
b) Dễ thấy BE = BH, CF = CH (tính chất đối xứng)
mà BC = BH + HC => BC = BE + CF
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Gọi D, E, F lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, AC và BC. Vẽ đường cao AH. Chứng minh:
a) A và H đối xứng với nhau qua DE.
b) Tứ giác DEFH là hình thang cân.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) ΔAHB vuông tại H có HD là trung tuyến
=> HD = AD
Tương tự ta có HE = AE
Vậy A và H đối xứng với nhau qua DE
b) Ta có DE là đường trung bình của ΔABC nên DE // BC. Do đó tứ giác DEFH là hình thang. Lại có DF // AC và DF = AC/2 => DF = HE (= AC/2)
Vậy tứ giác DEFH là hình thang cân.
Cho tam giác ABC cân tai A. Lấy M bất kì thuộc cạnh BC, kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC . Gọi D’ là điểm đối xứng với D qua BC:
a) Chứng minh ba điểm E, M, D’ thẳng hàng
b) Kẻ BF ⊥ AC. Chứng minh ED’ = BF
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) D’ đối xứng với D qua BC => DD’ ⊥ BC và ID’ = ID (I là giao điểm của DD’ và BC)
=> ΔDMD’ cân, do đó đường cao MI đồng thời là đường phân giác: ∠M1 = ∠M2 , mà ∠M1 = ∠M3 (cùng phụ với ∠B = ∠C) => ∠M2= ∠M3 mà ∠M3 = ∠EMB= 180o
=> ∠M2 = ∠EMB = 180o chứng tỏ E, M, D’ thẳng hàng
b) Dễ thấy ΔBDM = ΔBD'M (c.c.c)
=> ∠BD'M = ∠BDM - 90o hay D’B ⊥ D’E => D’B // EF
Lại có BF // D’E (⊥AC) nên BFED’ là hình thang có hai cạnh bên song song => ED’ = BF
Cho tam giác ABC có ∠A = 20o và ∠B = 80o . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tính ∠BCM
Đáp án và Hướng dẫn giải
Dựng đường thẳng d là trung trực của AB, lấy N đối xứng với M qua d. Gọi I là giao điểm của d và AC ta có:
I, N, B thẳng hàng và ∠IBA = ∠A = 20o
NB = MA (tính chất đối xứng) mà MA = BC ( gt)
=> NB = BC
Mặt khác ∠NBC = ∠B - ∠IBA) = 80o - 20o= 60o
Do đó ∆BNC đều => ∠BCN = 60o
Xét ∆ABC có ∠A = 20o và B = 80o (gt) => ∠BCA = 80o
Do đó: ∠NCM) = 80o - 60o= 20o
Lại có: MN // AB (⊥ d)
Cho hai điểm A, B ở cùng một phía đối với đường thẳng d. hãy tìm trên đường thẳng d một điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d và N là giao điểm của A’b với d, M là điểm bất kì thuộc d.
Ta có MA = MA’ và NA = NA’
=> MA + MB = MA’ + MB’ => A’B = NA’ + NB = NA + NB
Dấu “=” xảy ra <=> M ≡ N. Vậy MA + MB nhỏ nhất <=> M ≡ N.
Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi E, F lầ lượt là trung điểm của GB và GC.
a) Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành
b) Lấy I, J thuộc tia đối của MG và NG sao cho MI = MG và NI = NG. Chứng minh tứ giác BCIJ là hình bình hành.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có MN là đường trung bình của ∆ABC
=> MN // BC và MN = BC/2
Tương tự EF là đường trung bình của ∆BGC nên EF // BC và EF = BC/2
Do đó MN // EF và MN = EF.
Vậy MNEF là hình bình hành (hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)
b) Ta có G là trong tâm của ∆ABC nên GN = BC/2
Mà GN = JN (gt) => GJ = GC. Tương tự ta có GI = GB
Vậy tứ giác BJIC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Cho hình bình hành ABCD (AB > AC), phân giác của góc D cắt AB tại M, phân giác của góc B cắt CD tại N.
a) Chứng minh rằng AM = CN
b) Chứng minh: tứ giác DMBN là hình bình hành.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠M1 = ∠D2 (so le trong) mà ∠D2 = ∠D1 (gt)
=> ∠M1 = ∠D1 hay ∆ADM cân => AM = AD
Chứng minh tương tự ta có ∆BCN cân
=> CN = CB mà AD = CB (gt). Do đó AM = CN
b) AB = CD (gt); AM = CN (cmt) => AB – AM = CD – CN hay BM = DN
Lại có BM // DN. Do đó tứ giác DMBN là hình bình hành.
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lầ lượt là trung điểm của các đoạn thẳng À, CE, BF và DE. Gọi I là giao điểm của MP và EF. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của MP
b) MNPQ là hình bình hành
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có EP là đường trung bình của ∆ABF
=> EP // AF và EP = AF/2
M là trung điểm AF (gt)
=> MF = AF/2
Do đó EP // MF và EP = MF. Vậy EPFM là hình bình hành
I là giao điểm của MP và EF nên I là trung điểm của MP
b) Tương tự ta chứng minh được EM // PF và EM = PF nên EPFM là hình bình hành => I là trung điểm của EF (vì I là trung điểm của MP) (1)
Chứng minh tương tự ta có ENFQ là hình bình hành mà I là trung điểm của EF => I là trung điểm của NQ (2)
Từ (1) và (2) => MNPQ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Trên tia đối của DC lấy điểm F sao cho DF = CD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EBDA là hình bình hành.
b) Ba điểm E, A, F thẳng hàng
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có EB // AD và EB = AD (vì BE = BC) nên EBDA là hình bình hành.
b) Ta có EA // BD (cmt).
Chúng minh tương tự ta có ABDF là hình bình hành => AF // BD
Theo tiên đề Ơclit AE và AF phải trùng nhau hay ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E và F sao cho DE = BF .
a) Chứng minh AECF là hình bình hành.
b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AE, CF với DC và AB. Chứng minh AC, BD, MN dồng quy (cắt nhau tại một điểm)
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Xét ∆AED và ∆CFB có:
AD = BC
DE = BF
∠D1 = ∠B1 (so le trong)
=> ∆AED= ∆CFB (c.g.c) => AE = CF (1)
Tương tự: ∆AFB= ∆CED => AF = CE (1)
b) Ta có AE // CF (cmt) hay AM // CN. Lại có AM // CM. Do đó AMCN là hình bình hành (các cạnh đối song song). Gọi O là giao điểm của AC và MN thì O là trung điểm của AC. Lại có ABCD là hình bình hành
=> đường chéo thứ hai BD phải O hay ba đường AC, BD, MN đồng quy.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD của hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh AF // CE
b) Chứng minh rằng AF và CE chia đường chéo BD thành ba phần bằng nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD mà AB = CD và AB // CD (gt)
=> AE = CF và AE // CF. Do đó AECF là hình bình hành => AF // CE
b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của AF, CE với BD.
Ta có E là trung điểm của AB, EN // AM (AF // CE) => ENNlà đường trung bình của ∆ABM => N là trung điểm của BM hay BN = NM. Chứng minh tương tự ta có MF là đường trung bình của ∆DNC => MN = MD
Vậy BN = NM = MD
(bạn có thể giải bằng cách khác bằng cách nối A với C. Khi đó M, N lầ lượt là trong tâm của các tam giác ADC và BCA. Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD ta có BM = 2NI).
Cho hình bình hành ABCD. Kẻ AH, CK vuông góc với đường chéo BD.
a) Chứng minh AHCK là hình bình hành
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng tỏ ba điểm H, O, K thẳng hàng
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có AD // BC (gt) => ∠D1 = ∠B1 (so le trong)
AD = BC (gt)
AH và CK cung vuông góc với BD
=> ∆AHD= ∆CKB (cạnh huyền-góc nhọn)
=> AH = CK và AH // CK nên tứ giác AKCH là hình bình hành
b) Ta có O là trung điểm của AC(gt) mà AKCH là hình bình hành (cmt) nên đường chéo thứ hai HK phải qua O hay ba điểm H, O, K thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng D không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ lầ lượt là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng d.
Chứng minh rằng: AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Kẻ OO’ ⊥ d ta có OO’ là đường trung bình của các hình thang ACC’A’ và BDD’B’ nên
2OO’ = AA’ + CC’ (1)
2OO’ = BB’ + DD’ (2)
Từ (1) và (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm I, J, K, L sao cho AI = BJ = CK = DL. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác IJKL là hình bình hành.
b) Bốn đường thẳng AC, BD, IK, JL đồng quy
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có ΔIBJ= ΔKDL (c.g.c) và ΔJCK= ΔLAI
=> IJ = KL và JK = IL
Vậy tứ giác IJKL là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau)
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD ta có O là trung điểm của AC. Lại có tứ giác AICK là hình bình hành (AI // CK và AI = CK ) => đường chéo IKđi qua trung điểm O cảu AC, tứ giác IJKL là hình bình hành(cmt) ⇒ đường chéo JL đi qua trung điểm O của đường chéo IK. Vậy bốn đường thẳng AC, BD, IK, JL đồng quy.
Cho tam giác ABC có trực tâm H, kẻ Bx ⊥ AB, Cy ⊥ AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy.
a) Chứng minh: BHCD là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh H, O, D thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: Bx // CH (⊥ AB)
Tương tự: Cy // BH (⊥ AC)
Hay BD // CH và CD // BH
Vậy tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) O là trung điểm của BC => đường chéo thứ hai HD phải qua O
Hay ba điểm H, O, D thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC và I là trung điểm của MN. Gọi J là điểm đối xứng của A qua I. Chứng B đối xứng với C qua J.
Đáp án và Hướng dẫn giải
M, I là trung điểm của AB và AJ (gt)
=> MI là đường trung bình của ∆ABJ
=> MI // BJ hay MN // BJ
Tương tự có MN // CJ mà MN //BC (vì MN là đường trung bình của ∆ABC)
=> B, J, C thẳng hàng (1)
Lại BJ = 2MI; tương tự CJ = 2NI mà MI = NI (gt)
=> BJ = CJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra B đối xứng với C qua J
Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có N là trung điểm của AB ( gt); N là trung điểm của EC ( tính chất đối xứng)
Do đó EABC là hình bình hành => EA // BC (1) và EA = BC
Tương tự tứ giác ADCB là hình bình hành
=> AD // BC (2) và AD = BC
Từ (1) và (2) => EA và DA phải trùng nhau (tiên đề Ơclit)
Hay ba điểm E, A, D thẳng hàng và AE = CF chứng tỏ D đối xứng với E qua A.
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm E và trên cạnh CD lấy một điểm F sao cho AE = CF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AECF là hình bình hành.
b) E và F đối xứng với nhau qua tâm O của hình bình hành ABCD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có AE = CF và AE // CF nên AECF là hình bình hành.
b) O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD => O là trung điểm của AC, mà tứ giác AECF là hình bình hành (cmt)
=> O là trung điểm của EF hay E, F đối xúng với nhau qua O
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho DM = MN = NB. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh M và N đối xứng với nhau qua tâm O.
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AM và CN với các cạnh DC và AB. Chứng minh rằng P và Q đối xứng nhau qua O.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có: OB = OD (tính chất hai đường chéo của hình bình hành)
BN = DM (gt)
=> OB – BN = OD – DM
=> ON = OM hay O là trung điểm MN chứng tỏ M và N đối xứng nhau qua O.
b) Tứ giác ANCM có OM = ON (cmt)
OA = OC (gt)
=> ANCM là hình bình hành ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => AM // CN hay AP //CQ lại có AQ // CP. Do đó AQCP là hình bình hành (các cạnh đối song song) mà O là trung điểm của đường chéo AC nên đường chéo thứ hai PQ phải qua O hay OP = OQ. Chứng tỏ P và Q đối xứng nhau qua O.
Cho tam giác ABC, trong tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua G.
a) Chứng minh tứ giác BC’B’C là hình bình hành.
b) Chứng minh: ∆A'B'C'=∆ABC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) B’, B và C’, C đối xứng nhau qua G nên G là trung điểm của BB’ và CC’ => BC’B’C là hình bình hành.
b) Chứng minh tương tự ta được AB’A’B, C’ACA’ là các hình bình hành
=> B’C’ = BC,
C’A’ = AC,
B’A’ = AB
Do đó ∆A'B'C'=∆ABC (c.c.c)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.
a) Chứng minh EF = AH.
b) Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh AM ⊥ EF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy AEHF là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
=> EF = AH (tính chất hai đường chéo của hai hình chữ nhật).
b) Ta có AM = MC = BC/2 ( đường trung tuyến của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)
=> ∆AMC cân tại M nên ∠MAC = ∠C
Mặt khác AEHF là hình chữ nhật (cmt)
=> OA = OF hay ∆AOF cân
=> ∠OAF = ∠OFA mà ∠OAF) = ∠B ( cùng phụ với ∠C) => ∠OFA = ∠B
∆ ABC vuông tại A có ∠B + ∠C = 90o => ∠OFA + ∠MAC = 90o
=> ∠OAF = 90o hay AM ⊥ EF
Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại các điểm D và E. Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng DE, BE, BC, DC. Chứng minh IHKJ là hình chữ nhật.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có IJ là đường trung bình của ∆BED
=> IJ // BD và IJ = BD/2 (1)
Tương tự KH là đường trung bình của ∆BCD
IJ // BD và IJ = BD/2 (1)
=> HK // BD và HK = BD/2 (2)
Từ (1) và (2) => HIKJ là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Chứng minh tương tự ta có IH và JK lần lượt là các đường trung bình của tam giác CDE và CBE nên IH và JK (// AC)
Theo (gt) AB ⊥ AC => IJ ⊥ IH hay ∠JIH = 90o
Vậy IHKJ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Gọi AH là đường cao và M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC VÀ BC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh tứ giác DAHB là hình chữ nhật.
b) Tìm điều kiện của ∆ABC để AMPN là hình chữ nhật.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có:
MA = MB (gt)
MD = MH (tính chất đối xứng)
=> DAHB là hình bình hành.
Lại có ∠AHB = 90o (gt)
Do đó tứ giác DAHB là hình chữ nhật.
b) Ta có NP là đường trung bình của ∆ABC (M, P là trung điểm của AC và BC) => NP // AB và NP = AB/2 hay NP // AM và MP = AM. Do đó AMPN là hình bình hành.
Hình bình hành AMPN là hình chữ nhật <=> ∠BAC = 90o.
Do đó ∆ABC vuông tại A.
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AH và DC.
a) Chứng minh MBCP là hình chữ nhật.
b) Chứng minh BN ⊥ NP.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) M, P lần lượt là trung điểm của AB và CD mà AB // CD và AB = CD (gt)
=> MB // CP và MB = CP. Do đó MBCP là hình bình hành lại có ∠MBC = 90o nên MBCP là hình chữ nhật.
b) Gọi I là trung điểm của BH. Ta có NI là đường trung bình của ∆AHB (vì N là trung điểm của AH) => NI // AB và NI = AB/2 mà AB = CD và P là trung điểm của BC nên NI // CP và NI = CP.
Do đó NICP là hình bình hành => PN // CI mà I là trực tâm ∆BNC => CI ⊥ BN. Do đó BN ⊥ PN.
Cho tam giác ABC. Từ đỉnh A kẻ các đường thẳng AP, AQ theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và phân giác ngoài của góc B, các đường thẳng AR, AS theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và ngoài của góc C.
a) Chứng minh tứ giác APBQ là hình chữ nhật.
b) Chứng min rằng 4 điểm Q, R, P, S thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có BQ và BP là hai phân giác của hai góc kề bù nên ∠QBP = 90o lại có ∠AQB = ∠APB = 90o (gt). Do đó tứ giác APBQ là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác ASCR là hình chữ nhật nên PQ đi qua trung điểm H của AB. Tương tự RS cũng đi qua trung điểm K của AC. Lại có HK // BC (1)
Mặt khác ta có ∠P1 = ∠B1 (tính chất hai đường chéo hình chữ nhật) mà ∠B1 = ∠B2 (gt) => ∠P1 = ∠B2=> HP // BC (2)
Từ (1) và (2) HK và HP phải trùng nhau hay ba điểm H, P, K thẳng hàng, mà Q, H, P cũng thẳng hàng => bốn điểm Q, H, P, K thẳng hàng.
Chứng minh tương tự : KR // BC => S, K, R, H thẳng hàng.
Cho hình bình hành ABCD. Phân giác các góc A, B, C, D cắt nhau tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
Đáp án và Hướng dẫn giải
(Xem hình vẽ). Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc D và cạnh AB. Ta có: ∠E1 = ∠D2 (so le trong)
mà ∠D = ∠B => ∠D2 = ∠B1.
Do đó ∠E1 = ∠B1 => DE // BP.
Tương tự ta chứng minh được AF // CK. Vậy MNPQ là hình bình hành (1)
Mặt khác AB // CD
Từ (1) và (2) => MNPQ là hình chữ nhật.
Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi a1, a2 là hai đường thẳng song song cho trước và h là khoảng cách giữa hai đường đó. Giả sử I là điểm cách đều hai đường thẳng và II1; II2 là khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đó.
Ta có I1I2 = h => II1 = h/2 (không đổi). Vậy I nằm trên đường thẳng a cách đường thẳng a1 một khoảng bằng h/2.
Bây giờ : Lấy một điểm H thuộc đường thẳng a, dựng HH1 ⊥ a1. Ta có II1H1H là hình chữ nhật nên HH1 = II1 = h/2. Do đó điểm H cách đều đường thẳng a1. Tương tự đối với đường thẳng a2.
Vậy tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho và cách đều hai đường thẳng đã cho.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AM khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM.
Kẻ IK, AH vuông góc với D (K, H ∈ d).
Ta có IK // AH nên IK là đường trung bình của tam giác AHM => IK = AH/2.
A, d cho trước nên khoảng cách từ A đến d là AH không đổi => IK không đổi mà K ∈ d => I thuộc đường thẳng d’ song song với d và cách d một khoảng bằng AH/2.
Bây giờ lấy một điểm I’ thuộc d’, AI’ cắt d tại M’. Vì I’H’ // M’H và H’ là trung điểm của AH nên H’I’ là đường trung bình của ∆AH’M => I’A = I’M’.
Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn AM khi M di động trên đường thẳng d là đường thẳng d’ // d và cách d một đoạn bằng AH/2 (AH là khoảng cách từ A đến d).
Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm M, N theo thứ tự di động trên các cạnh AB và AC sao cho AM = CN. Hãy tìm tập hợp các trung điểm I của MN.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ NP // AB ta có:
∠NPC = ∠B (đồng vị) mà ∠B = ∠C(gt)
=> ∠NPC = ∠C hay ∆NPC cân
=> NP = NC mà NC = MA (gt) => NP = MA và NP // MA
Do đó tứ giác ANPM là hình bình hành có I là trung điểm của MN
=> I là trung điểm của AP.
Kẻ IH và AK cùng vuông góc với BC ta có IH là đường trung bình của ∆AKP nên IH = AK/2 (không đổi).
Vậy tập hợp các trung điểm I của MN khi M, N di động trên AB và AC là đường trung bình DE của ∆ABC với DE // BC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) * Ta có EA = EF (tính chất đối xứng)
OA = OC (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật)
=> OE là đường trung bình của ∆ACF => OE//CF.
Do đó OECF là hình thang.
*Ta có OE = CF/2 (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mà I là trung điểm của CF (gt)
=> OE = CI và OE // CI
Do đó OEIC là hình bình hành.
b) Ta có FH ⊥ BC hay ∠FHC = 90o, ∠HCK = 90o, ∠FKC = 90o (gt)
Do đó CHFK là hình chữ nhật (có ba góc vuông), I là trung điểm của đường chéo CF (gt) => I cũng là trung điểm của đường chéo HK.
c) Ta có ∆HIC cân (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => ∠C1 = ∠H1
Tương tự ∆COB cân => ∠B1 = ∠C2 mà OE // CF ∠B1 = ∠C1 (so le trong)
=> ∠C2 = ∠H1 => HI // AC.
Lại có EI // OC (vì OEIC là hình bình hành) => EI và HI phải trùng nhau hay ba điểm E, H, I thẳng hàng => Ba điểm E, H, K thẳng hàng.
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K, H theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: IJ ⊥ HK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có I, H là trung điểm của AB và AC nên IH là đường trung bình của ∆ABC => IH = BC/2 (1)
Lại có JK là đường trung bình của ∆BCD
nên JK = BC/2 (2)
Từ (1) và (2) => IH = JK = BC/2
Chứng minh tương tự ta có: JH = IK = AD/2 mà AD = BC (gt)
=> IH = HJ = JK = KI.
Do đó IHJK là hình thoi (bốn cạnh bằng nhau) => IJ ⊥ HK.
Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ∆ABC lấy ME =MA.
a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.
b) Chứng minh C là trung điểm của DE.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có MB = MC, MA = ME (gt) nên ABEC là hình bình hành (1)
Mặt khác ∆ABC cân có trung tuyến AM => AM đồng thời là đường cao hay AE ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) => ABEC là hình thoi.
b) Ta có CD // AB (gt), CE // AB (cmt) => CD và CE phải trùng nhau (tiên đề Ơclit).
Vậy D, C, E thẳng hàng và CD = CE hay C là trung điểm của DE.
Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA. Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Lại có: ∠B1 = ∠D1; ∠O1 = ∠O2 (M là giao điểm của các đường phân giác)
=> ∆BMO = ∆DPO (g.c.g) => OM = OP
Mặt khác ta có các điểm B, O, D thẳng hàng mà ∠O1 = ∠O2 nên các điểm M, O, P cũng thẳng hàng. Tương tự ta có ∆BON = ∆DOQ => ON = OQ và N, O, Q cũng thẳng hàng => MNPQ là hình bình hành (các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường). Mặt khác OM, ON là phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. Vậy MNPQ là hình thoi.
Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IK ⊥ MN.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có M là trung điểm của BE
I là trung điểm của DE
=> MI là đường trung bình của ∆BDE
=> MI // BD và MI = BD/2
Tương tự NK // BD và NK = BD/2
Do đó MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (1)
Chứng minh tương tự ta có IN là đường trung bình của ∆CDE
=> IN = 1/2CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (2)
Từ (1) và (2) => tứ giác MINK là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh tứ giác MINK là hình thoi.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ∠EBC = ∠DAC (cùng phụ với ∠C )
∠AMN = ∠BMD (đối đỉnh) => ∠A1 = ∠B1
Gọi O là giao điểm của AK và BN ta có:
Chứng tỏ AK ⊥ BM hay IK ⊥ MN (1)
∆MAN có AO là đường cao (cmt) đồng thời là phân giác (gt) => OM = ON. Tương tự với ∆BIK ta có OI = OK. Vậy tứ giác MINK là hình bình hành, kết hợi với (1) ta có MINK là hình thoi.
Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE+BF = BD. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có AB = AD (gt) và ∠A = 60o
nên ∆ABD đều => BD = AD.
Tương tự ∆BCD đều => ∠CBD = 60o
Từ BE + BF = BD => AE = BF
Xét ∆AED và ∆BFD có : AD = BD (cmt); ∠A = ∠CBD = 60o; AE = BF
Do đó ∆AED = ∆BFD (c.g.c)=> DE = DF nên ∆DEF cân (1)
và ∠D1 = ∠D3 mà ∠D1 + ∠EDB = 60o => ∠D3 + ∠EDB = 60o (2)
Từ (1) và (2) =>∆DEF là tam giác đều.
Cho hình chữ nhật ABCD; P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi M là giao điểm của AP và BQ, N là giao điểm của CQ và DP. Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có Q, P lần lượt là trung điểm của AD và BC nên AQ = QD = BP = PC và AQ // CP, DQ // BP.
Do đó các tứ giác sau là các hình bình hành APCQ, BPDQ => AP // CQ và BQ // DP
=> MNPQ là hình bình hành
Mặt khác tứ giác ABPQ là hình chữ nhật (AQ // BP và AQ = BP)
=> MQ = MP (tính chất hai đường chéo hình chữ nhật)
Vậy MNPQ là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AC dựng các hình vuông ABDE và BCFH. Trên tia AB lấy điểm M. Trên tia đối của tia BD lấy điểm N sao cho AM = DN = FH. Chứng minh rằng EMFN là hình vuông.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét các tam giác vuông ∆EDN và ∆EAM có:
EA = ED (gt), MA = ND (gt)
=> ∆EDN = ∆EAM (c.g.c)
=> EM = EN và ∠E1 = ∠E2
Chứng minh tương tự ta có EM = MF = NF nên EMFN là hình thoi.
Mặt khác ∠E1 + ∠MED = 90o (gt) mà ∠E1 = ∠E2 (cmt)
=> ∠E2 + ∠MED = 90o
Vậy hình thoi EMFN là hình vuông
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy M bất kì, trên AD lấy N sao cho AM = AN, kẻ AH vuông góc với BN, AH cắt CD tại E (H ∈ BN). Tính ∠MHC
Đáp án và Hướng dẫn giải
Hai tam giác vuông ABN và ADE có
AB = AD; ∠A1= ∠B1(cùng phụ với ∠BAH)
=> ∆ABN = ∆DAE (g.c.g)
=> AN = DE (= AM)
=> BM = CE
Do đó BMEC là hình chữ nhật
Gọi o là giao điểm hai đường chéo BE và CN, ta có OB = OE = OC = OM.
Mặt khác ta có ∆BHE vuông có HO là trung tuyến
=> OH = OB = OC (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
=> OH = OB = OM => ∆MHC vuông hay ∠MHC = 90o
Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của CB lấy điểm E, trên tia đối của DC lấy điểm F sao cho DF =BE. Qua E kẻ Ex // AF, qua F kẻ Fy // AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. Chứng minh rằng AEPF là hình vuông.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Xét hai tam giác ABE và ADF có:
AB = AD (gt)
BE = DF (gt)
=> ABE =ADF (c.g.c)
=> ∠A1 = ∠A3 với AE = AF (1)
Lại có ∠A1 + ∠A2 = 1v => ∠A3 + ∠A2 = 1v (2)
Mặt khác do EP // AF; FP // AE => AEPF là hình bình hành (3)
Từ (1), (2) và (3) => AEPF là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh CM⊥DN tai E.
b) Gọi K là trung điểm của DC và AH là đường cao của ∆ADE. Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy ∆CBM = ∆DCN (c.g.c)
=> ∠C1 =∠D1 và => ∠M1 = ∠N1
Mà ∠M1 + ∠C1 = 90o (vì ∠MBC = 90o
=> ∠N1 + ∠C1= 90o
Trong ∆CEN ta có ∠CEN= 180o -(∠N1 + ∠C1)= 90o
Chứng tỏ CM ⊥ DN
b) K là trung điểm CD, M là trung điểm của AB mà AB // CD
=> CK // AM và CK = AM. Do đó AMCK là hình bình hành
=> AK // CM mà AH // CM (⊥DN).
Vậy AK và AH phải trùng nhau (tiên đề Ơclit) hay ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD. Từ điểm M tùy ý trên đường chéo BD, kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh MC = EF và MC⊥EF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Vẽ MP ⊥ CD. Ta có ME // AD => MP và ME phải trùng nhau (tiên đề Ơclit) hay ba điểm E, M, P thẳng hàng.
Tứ giác BCPE là hình chữ nhật => BE = CP.
Mặt khác ∆BEM vuông cân (vì ∠B1= 45o
=> BE = ME và M thuộc BD là tia phân giác của góc ADC nên MF = MP
Do đó hai tam giác vuông ∆EMF = ∆CPM (c.g.c)
=> EF = MC và ∠F1= ∠M1
Gọi H là giao điểm của CM và EF ta có ∠M1 = ∠M2 (đối đỉnh)
=> ∠F1 = ∠M2 mà ∠F1 + ∠E1 = 90o (∆EMF vuông)
=> ∠M1 + ∠E1 = 90o => ∠MHE= 90o hay MC ⊥ EF
Nhận xét:
* Để chứng minh MC = EF, bạn có thể chứng minh MC = MA vì M thuộc BD mà BD là đường trung trực của đoạn AC (tính chất hai đường chéo của hình vuông).
* Ta có thể chứng minh được ba đường sau đây đồng quy CM, BF, DE khi chúng là các đường cao của ∆CEF.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O không song song với AD cắt AB tại M và CD tại N.
a) Chứng minh ∆AOM = ∆CON.
b) Chứng tỏ tứ giác AMCN là hình bình hành.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D.
a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.
b) Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh E, I, C thẳng hàng.
c) ∆ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Ta có: ⊥A1 = ⊥C1 (so le trong)
AO = CO (tính chất đường chéo hình thoi)
⊥O1 = ⊥O2 (đối đỉnh)
Vậy ∆AOM = ∆CON. (c.g.c) => OM = ON
b)Xét tứ giác AMCN có OM = ON (cmt), OA = OC (gt)
Do đó AMCN là hình bình hành.
Bài 2:
a) Ta có DA = DB, DE = DM (tính chất đối xứng)
=> AEBM là hình bình hành.
Lại có MA = BM ( trung tuyến tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)
Vậy AEBM là hình thoi.
b)Ta có AE // BM và AE = BM (vì AEBM là hình thoi) mà MC = BM
=> AE // MC và AE = MC
Do đó tứ giác AEMC là hình bình hành, I là trung điểm của đường chéo AM nên đường chéo thứ hai EC phải qua I hay ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c)Hình thoi AEBM là hình vuông <=> AB = EM mà EM = AC
<=> AB = AC <=> ∆ABC vuông cân.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ NE ⊥ PQ (E ∈ PQ), QF ⊥ MN ( F ∈ MN)
a) Chứng tỏ tứ giác NEQF là hình chữ nhật
b) Chứng tỏ MP, NQ, EF đồng quy.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc với AC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AH, BH và CD.
a) Chứng minh tứ giác MNCP là hình bình hành.
b) Chứng minh: MP ⊥ MB
c) Gọi I là trung điểm của PB và J là giao điểm của MC và NP. Chứng minh rằng: MI = IJ < JP.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Ta có NF // QE (gt), QF // NE. Do đó tứ giác NEQF là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
b)O là giao điểm hai đường chéo hình thoi MNPQ nên O là trung điểm NQ.
Lại có NEQF là hình chữ nhật (cmt) nên đường cao EF phải qua trung điểm O của NQ. Vậy MP, NQ, EF đồng quy.
Bài 2:
a) Ta có M là trung điểm của HA (gt), N là trung điểm của HB (gt) nên MN là đường trung bình của ∆AHB
=> MN // AB và MN = AB/2 , P là trung điểm của CD.
Do đó MN // CP và MN = CP, vậy tứ giác MNCP là hình bình hành.
b)Ta có MN//PC (cmt) mà PC ⊥BC => MN ⊥ BC chứng tỏ N là trực tâm ∆AMC => CN ⊥ MP và CN // MP (cmt) => MP ⊥ MB.
c)∆BMP vuông (cmt) có MI là trung tuyến nên MI = IP = BP/2 .
Xét ∆IJP theo bất đẳng thức tam giác ta có:
JP + IJ > IP hay JP + IJ > MI => MI – IJ < JP (đpcm)
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của DC.
a) Chứng tỏ AJ = CI. b) Chứng tỏ O là trung điểm của đoạn IJ.Bài 2: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BA. Nối ED cắt AC ở I và BC ở F.
a) Chứng minh ID = 2IF. b) Nối EO cắt BC ở G, đường thẳng OF cắt EC ở H. Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng. c) Biết ∠BAD = 60o, AB = a. Tính diện tích hình thoi ABCD theo a.Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
=> AI // CJ và AI = CJ.
Do đó tứ giác AICJ là hình bình hành => AJ = CI
b)O là giao điểm hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC. AICJ là hình bình hành (cmt). Do đó đường chéo thứ hai IJ phải qua O hay O là trung điểm của IJ.
Bài 2:
a) Ta có BE = BA (gt) mà BA // CD và BA = CD (gt)
=> BE // CD và BE = CD.
Do đó BECD là hình bình hành nên F là trung điểm của BC.
Xét ∆BDC có I là trọng tâm => ID = 2IF.
b)Ta có OF là đường trung bình của ∆BDC => OF // DC mà DC // AB nên OF // AE.
Vì O là trung điểm của AC nên H là trung điểm của EC hay AH là trung tuyến của ∆AEC. Mà AH cắt EO tại G nên G là trong tâm của ∆AEC => A, G, H thẳng hàng.
c)∆ABD cân (AB = AD (gt)) có ∠BAD = 60 o nên ∆ABD đều
kẻ BJ ⊥ AD ta có:
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi I là trung điểm cạnh BC và E là điểm đối xứng với O qua I.
a) Tứ giác OBEC là hình gì? Tại sao?
b) Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
Bài 2: Cho tm giác ABC vuông tại A ( AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua I vẽ IM ⊥ AB tại M, và IN ⊥ AC tại N.
a) Chứng minh AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh ADCI là hình thoi.
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh:
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Ta có IB = IC (gt), IO = IE (tính chất đối xứng)
=> OBEC là hình bình hành.
Lại có ∠BOC = 90o (tính chất hai đường chéo hình thoi). Do đó OBEC là hình chữ nhật.
b)Ta có OA = OC (tính chất đường chéo hình thoi) mà OC = BE và OC // BE (cmt) nên OA = BE và OA // BE. Do đó ABEO là hình bình hành có J là trung điểm của OB nên đường chéo thứ hai AI phải qua J và JA = JE.
Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
Bài 2:
a) Tứ giác ANIM là hình chữ nhật (có ba góc vuông)
b)I là trung điểm của BC nên AI là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC
=> AI = IC = BC/2.
Do đó ∆AIC cân có IN là đường cao nên đồng thời là trung tuyến hay NA = NC, lại có NI = NI (tính chất đối xúng) => ADIC là hình thoi.
c)Kẻ qua I đường thẳng song song với BK cắt CD tai E. Ta có IE là đường trung bình của ∆BKC
=> E là trung điểm cảu CK hay EK = EC (1)
Mặt khác N là trung điểm của ID và NK // IE ( IE // BK) nên NK là đường trung bình của ∆DIE
=> K là trung điểm của DE hay EK = DK (2)
Bài 1: Cho tam giác ABC (AB < AC < BC), đường cao AH. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và AC. Gọi I là giao điểm của DF và AE.
a) Chứng minh tứ giác EFDH là hình than cân.
b) Chứng I là trung điểm của DF.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD). Trên cạnh AD, BC lầ lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = CN.
a) Chứng minh rằng: BM // DN.
b) Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh AC, BD, MN đồng quy tai O.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt cạnh CD tại Q. chứng minh rằng PBQD là hình thoi.
d) Đường thẳng qua B song song với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: AC ⊥ CK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Ta có DF là đường trung bình của ΔABC nên DF // BC hay DF // HE. Do đó DFEH là hình thang.
Mặt khác ΔAHC vuông có HF là đường trung tuyến nên HF = AC/2
DE là đường trung bình của ΔABC => DE = AC/2
Hình thang DFEH có HF = DE nên là hình thang cân.
b)Ta có DF // BC (cmt) hay DI // BE. Do đó DI là đường trung bình của ΔABE => I là trung điểm của AE và DI = BE/2
Trong ΔAEC có IF là đường trung bình nên IF = EC/2 mà EC = EB (gt) => IF = ID hay I là trung điểm của DF.
Bài 2:
a) Ta có AD = BC hay AD // BC (gt), AM = CN (gt)
=> AD – AM = BC – CN
Hay DM = BN
Lại có DM // BN
Do đó MNDN là hình bình hành => BM // DN
b)O là trung điểm của BD mà ABCD là hình chữ nhật nên đường chéo thứ hai AC phải qua O.
Lại có tứ giác BMDN là hình bình hành nên MN phải đi qua trung điểm O của BD. Vậy AC, BD, MN đồng quy.
PQ ⊥ BD (gt). Xét các tam giác vuông POB và QOD có:
∠POB = ∠QOD∠ (đối đỉnh), OB = OD và ∠PBO = ∠QDO (so le trong).
Do đó ΔPOB = ΔQOD (g.c.g) => BP = DQ
Lại có BP // DQ nên tứ giác PBQD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
Gọi F là giao điểm của BK và QC. Ta có O là trung điểm của BD và OQ // BK (gt) nên OQ là đường trung bình của ∆DBF => Q là trung điểm của DF.
Lại có QK // BD (gt) nên QK là đường trung bình của ΔBDF =>K là trung điểm của BF.
Mặt khác ΔBCF vuông tại C có CK là đường trung tuyến nên ΔDBQ cân tại Q => QB = QD và QD = QF (cmt)
Vậy QD = OB = QF. Do đó ΔDBF vuông tại B.
Xét ΔOCK và ΔOBK có CK chung
OC = OB (tính chất đường chéo hình chéo hình chữ nhật)
CK = BK (cmt)
Vậy ΔOCK = ΔOBK (c.c.c) => ∠OCK = ∠OBK = 90o hay AC ⊥ CK
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, trung tuyến AD. Kẻ DN song song với AB (N ∈ AC). Kẻ DM song song với AC (M ∈ AB). MN cắt AD tại O.
a) Chứng minh A và D đối xứng với nhau qua điểm O.
b) Tính độ dài MN khi BC = 16cm.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O. Trên tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt các điểm E, F, G, H sao cho BE = CF = DG = AH.
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành.
b) Chứng minh điểm O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình thoi ABCD phải có điều kiện gì để EFGH trở thành hình thoi ?
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Ta có DN // AB, DM // AC
=> ANDM là hình bình hành
=> OA = OD hay A và D đối xứng với nhau qua điểm O.
b) D là trung điểm của BC (gt), DM // AC
=> M là trung điểm của AB
Tương tự N là trung điểm của AC
Do đó MN là đường trung bình của ∆ABC
=> MN = (1/2)BC = (1/2).16 = 8cm.
Bài 2:
a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)
BE = DG (gt)
=> AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt),
∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),
AH = CF (gt)
Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) => HE = FG
Chứng minh tương tự ta có HG = EF
Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).
b) Nối E và G. Xét ΔOBE và ΔODG có BE = DG (gt),∠OBE = ∠ODG (so le trong), OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)
=> ΔOBE = ΔODG (c.g.c) => ∠OBE = ∠ODG
Mà ∠DOG = ∠GOB = 180o (B, O, D thẳng hàng)
=> ∠BOE = ∠GOB = 180o => ba điểm G, O, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.
Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.
c) Hình bình hành EFGH là hình thoi <=> HE = EF
<=> Hình thoi ABCD có 1 góc vuông
<=> ABCD là hình vuông.
Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.
Câu 1: Cho tứ giác ABCD biết:
số đo góc A là:
A. 180o B. 36o C. 72o D. 144o
Câu 2: Hãy điền vào chỗ (…) để được các khẳng định đúng:
a) Hình thang là tứ giác có ………
b) Hình bình hành có ……… là hình chữ nhật.
c) ……… có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
d) Tứ giác có ……… là hình thoi.
Câu 3: Phát biểu sau đúng hay sai: “Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình vuông”.
A. Đúng
B. Sai
Câu 4: Cho hình thang có hai đáy lần lượt là 3cm và 5cm. Độ dài đường trung bình là:
A. 8cm B. 2cm C. 4cm D. 16cm
Câu 5: Một tứ giác là hình chữ nhật nếu nó là:
A. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau
B. Hình bình hành có một góc vuông
C. Hình thang có một góc vuông
D. Hình thang có hai góc vuông
Bài 1: (3 điểm)
a) Cho hình thang ABCD (AB // CD) biết ∠A = 100o, ∠C = 70o . Tính số đo hai góc ∠B và ∠D ?
b) Cho hình thoi MNPQ có ∠N = 120o . Lấy hai điểm E và F theo thứ tự thuộc các cạnh MQ và PQ sao cho ME = QF. Chứng minh tam giác NEF là tam giác đều.
Bài 2: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, DB.
1. Chứng minh tứ giác PQRS là hình bình hành.
2. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để:
a. PQRS là hình chữ nhật.
b. PQRS là hình thoi.
Bài 3: (1 điểm)
Cho tứ giác ABCD có BD là phân giác ∠B và BC = CD. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Câu 1: Chọn C
Câu 2:
a) hai cạnh đối song song
b) một góc vuông
c) hình thoi
d) bốn cạnh bằng nhau
Câu 3: Chọn B
Câu 4: Chọn C
Câu 5: Chọn B
Bài 1: (3 điểm)
a) Ta có ABCD là hình thang (AB // CD) nên:
b) Vì MNPQ là hình thoi, lại có:
ΔMNQ có MN = MQ (gt) và có ∠M = 60o nên ΔMNQ đều
Suy ra MN = MQ = NQ.
Mặt khác QN là tia phân giác ∠MQP (do MNPQ là hình thoi).
Bài 2: (3 điểm)
1) Ta có:
• PQ là đường trung bình của ΔABC nên PQ // BC và PQ = BC/2 (1)
• RS là đường trung bình của ΔDBC nên RS // BC và RS = BC/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra PQ // RS và PQ = RS
Suy ra tứ giác PQRS là hình bình hành.
2)
a) Ta có PS là đường trung bình của
Suy ra PS // AD và PS = AD/2
Để PQRS là hình chữ nhật <=> PQ ⊥ PS <=> BC ⊥ AD
Vậy tứ giác ABCD phải thêm điều kiện BC ⊥ AD thì PQRS là hình chữ nhật.
b) Để PQRS là hình thoi <=> PQ = PS <=> BC = AD . Vậy tứ giác ABCD phải thêm điều kiện BC = AD thì PQRS là hình thoi.
Bài 3: (1 điểm)
Vì BD là phân giác của ∠ABC
Suy ra ∠ABC = ∠CBD (1)
Lại có BC = CD (gt)
Suy ra ΔCBD cân tại C
Nên ∠CBD = ∠CDB (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
∠ABD = ∠CDB (ở vị trí so le trong)
Suy ra AB // CD
Vậy ABCD là hình thang.
Câu 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết:
A. 135o; 144o; 36o; 45o
B. 144o; 135o; 36o; 45o
C. 120o; 130o; 60o; 50o
D. 110o; 140o; 50o; 70o
Câu 2: Hãy điền vào chỗ (……) để được khẳng định đúng:
a) Hình bình hành là tứ giác ………
b) Hình bình hành có ……… là hình chữ nhật.
c) Hình thoi là ………
d) Hình vuông là ………
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và AC ⊥ BD. Khi đó:
A. Tứ giác ABCD là hình vuông.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
C. Tứ giác ABCD là hình thoi.
D. ABCD là tứ giác bất kỳ.
Câu 4: Cho hình thang có hai đáy lần lượt là 5cm và 7cm. Độ dài đường trung bìn của hình thang là:
A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 12cm
Câu 5: Một tứ giác là hình chữ nhật nếu nó là:
A. Hình thang có một góc vuông.
B. Hình thang có hai góc vuông.
C. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình bình hành có một góc vuông.
Bài 1: (3 điểm)
Cho tứ giác MNPQ có MN = PQ; NP = QP
a) Chứng tỏ MP là đường trung trực của NQ.
b) Biết ∠M = 120o, ∠P = 60o .Tính số đo hai góc ∠N; ∠Q
Bài 2: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh CD lấy điểm F sao cho AE = CF. Trên cạnh AD lấy điểm M và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = CN.
a) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh các đường thẳng AC; BD; EF và MN đồng quy tại một điểm.
Bài 3: (1 điểm)
Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng độ dài hai đường chéo bao giờ cũng lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Câu 1: Chọn A
Câu 2:
a) có các cạnh đối song song
b) một góc vuông
c) tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
d) tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
Câu 3: Chọn D
Câu 4: Chọn A
Câu 5: Chọn D
Bài 1: (3 điểm)
a) Ta có MN = MQ (gt)
=> M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng NQ (1)
PN = PQ (gt)
=> P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng NQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra MP là đường trung trực của đoạn thẳng NQ.
b) Ta có: ΔAME và ΔCNF, ta có:
Suy ra: ∠MNP = ∠MQP hay ∠N = ∠Q
Mặt khác ∠M + ∠N + ∠P + ∠Q = 360o(định lí)
120o + ∠N + 60o + ∠N = 360o
=> 2∠N = 180o => ∠N = 90o
Vậy: ∠N = ∠Q = 90o
Bài 2: (3 điểm)
a) Xét ΔAME và ΔCNF , ta có:
AE = CF (gt)
∠MAE = ∠NCF (góc đối của hình bình hành ABCD)
AM = CN (gt)
Suy ra: ΔAME = ΔCNF (c.g.c)
Suy ra ME = NF (1)
• Vì AD = BC (cạnh đối hình bình hành ABCD)
AM = CN (gt)
Suy ra MD = BN
Tương tự AB = CD (cạnh đối hình bình hành ABCD)
AE = CF (gt)
Suy ra: EB = DF
Lại có ∠MDF = ∠NBE (góc đối hình bình hành ABCD)
Suy ra: ΔMDF = ΔNBE (c.g.c) => MF = NE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MENF là hình bình hành
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF (gt) nên AECF là hình bình hành. Lại có O là trung điểm của đường chéo AC nên O cũng là trung điểm của đường chéo EF. Hay EF đi qua O.
Mặt khác, tứ giác MENF là hình bình hàn (chứng minh trên), lại có O là trung điểm của đường chéo EF nên O cũng là trung điểm của đường chéo MN. Hay MN đi qua trung điểm O.
Vậy các đường thẳng AC, BD, EF và MN cùng đi qua điểm O.
Bài 3: (1 điểm)
Đặt p = AB + BC + CD + DA
Ta có: OA + OD > AD (1)
OA + OB > AB (2)
OB + OC > BC (3)
OC + OD > CD (4)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), (4) ta có:
2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
2(AC + BD) > p
AC + BD > (*)
Mặt khác: Trong ΔABC có AC < AB + BC (5)
Trong ΔACD có AC < AD + CD (6)
Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:
2AC < AB + BC + CD + DA
Tương tự ta cũng có BD < p/2. Suy ra: AC + BC < (p/2) + (p/2)
Hay AC + BD < p (**)
Từ (*) và (**) ta có: (p/2) < AC + BD < p
Câu 1: Chọn kết quả đúng:
Trong tứ giác MNPQ có: ∠M + ∠N + ∠P + ∠Q =?
A. 900 B. 1800 C. 3600 D. 5400
Câu 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết độ dài hai đáy AB = 10cm và CD = 22cm. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Độ dài đoạn thẳng HK là:
A. 16cm B. 8cm C. 11cm D. 32cm
Câu 3: Chọn câu có khẳng định sai:
A. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
B. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
C. Hình thang là một hình bình hành.
D. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Câu 4: Chọn câu có khẳng định đúng.
A. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
B. Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
C. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/3 cạnh huyền.
D. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
Câu 5: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Gọi N là trung điểm của CH. Số đo góc ∠KMN là:
A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o
Câu 6: Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60o . Trên cạnh AD lấy điểm H và trên cạnh CD lấy điểm K sao cho AH = DK. Số đo góc ∠HBK là:
A. 30o B. 60o C. 45o D. 90o
Bài 1: (3 điểm)
a) Cho tứ giác ABCD có ∠A = 140o; ∠B = 100o và ∠C - ∠D = 40o. Tính số đo ∠C và ∠D ?
b) Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M và N sao cho AM = MN = NB. Kẻ đường trung tuyến AP (P ∈ BC) cắt đoạn CM tại H. Chứng minh H là trung điểm của AP.
Bài 2: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF < BD/2 .
a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Gọi M là giao điểm của CE và AB. Gọi N là trung điểm của AM. Xác định vị trí của giao điểm E để AN = NM = MB.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: C | Câu 2: A | Câu 3: C |
| Câu 4: D | Câu 5: C | Câu 6: B |
Bài 1: (3 điểm)
a) Trong tứ giác ABCD có:
b) Trong ΔBMC có BN = NM (gt); BP = PC (gt)
Suy ra NP là đường trung bình của ΔBMC
Do đó NP // MC
Trong ΔANP có AM = MN (gt);
MH // NP (do MC // NP, chứng minh trên)
Suy ra HA = HP (định lý)
Vậy H là trung điểm của AP.
Bài 2: (4 điểm)
a) Ta có:
AD = BC (gt)
∠ADF = ∠CBE (so le trong)
DF = BE (gt)
Suy ra: ΔADF = ΔCBE (c.g.c)
=> AF = CE (1)
Tương tự chứng minh được: ΔABE = ΔCDF (c.g.c) => AE = CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Trong ΔACM có: OA = OC (gt), AN = NM (gt)
Suy ra ON // CM (định lý đường trung bình của tam giác).
Để MN = MB và có ME // ON, suy ra E là trung điểm của OB
Câu 1: Cho tứ giác ABCD có ∠A = 75o; ∠B = 85o ; các tia phân giác của các góc ∠C và ∠D cắt nhau tại I. Số đo góc ∠CID là:
A. 60o B. 70o C. 80o D. 90o
Câu 2: Cho ΔMNP vuông tại M, đường cao MH. Gọi K, I lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến MN và MP. Gọi L là trung điểm của HP. Số đo góc ∠KIL là:
A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 3: Chọn câu có khẳng định sai.
A. Hai điểm A và B gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn AB.
B. Trong hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
C. Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
D. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Câu 4: Chọn kết quả đúng:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AB = 3cm và MN = 7cm. Độ dài cạnh CD là:
A. 5cm B. 10cm C. 11cm D. 20cm
Câu 5: Chọn kết quả đúng:
Cho hình bình hành ABCD biết ∠A = 110o . Số đo góc ∠C là:
A. 110o B. 70o C. 65o D. 55o
Câu 6: Chọn đúng (Đ), sai (S) điền vào chỗ chấm:
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. ....
b) Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau. ....
Bài 1: (3 điểm)
a) Chứng tỏ rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn.
b) Cho hình thang ABCD biết ∠A = ∠D = 90o, AB = AD = 3cm. Tính số đo hai góc ∠B và ∠C của hình thang.
Bài 2: (4 điểm)
Cho ΔABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại M. Gọi H là trung điểm của MB và K là trung điểm của MC.
a) Tứ giác DEHK là hình gì? Vì sao?
b) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật?
c) Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì? Vì sao?
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: C | Câu 2: D | Câu 3: B |
| Câu 4: C | Câu 5: A | Câu 6: a) S b) Đ |
Bài 1: (3 điểm)
a) Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác đó nhỏ hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác bằng 360o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.
b) Kẻ BH vuông góc với CD.
Tứ giác ABHD có 3 góc vuôn nên ABHD là hình chữ nhật
Suy ra: BH = AD = 3cm, AB = D = 3cm. Vì CD = 6cm (gt), nên HC = 3cm. Tam giác BHC vuông tại H , lại có HB = HC nên ∠C = 45o
Suy ra ∠ABC = 135o
Bài 2: (4 điểm)
a) Ta có:
EM = MK (cùng bằng CM/2)
CM = MH (cùng bằng BM/2)
Nên tứ giác DEHK là hình bình hành.
b) Tứ giác DEHK là hình chữ nhật
<=> Hình bình hành DEHK có HD = EK
<=> ME = MD và MH = MK
<=> ΔMEB = ΔMDC (c.g.c)
<=> EB = DC
<=> AB = AC
<=> ΔABC cân tại A.
c) Ta có BD ⊥ CE hay HD ⊥ EK. Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc với nhau nên tứ giác DEHK là một hình thoi.
Câu 1: Tổng các góc ngoài của tứ giác có số đo là:
A. 180o B. 240o C. 360o D. 480o
Câu 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết ∠A = 3∠D . Số đo góc A là:
A. 45o B. 135o C. 90o D. 75o
Câu 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là:
A. Hình thang cân
B. Hình chữ nhật
C. Hình bình hành
D. Hình thoi
Câu 4: Cho ΔABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết BC = 7cm. Độ dài đoạn thẳng EF là:
A. 14cm B. 7cm C. 10cm D. 3,5cm
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo là:
A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 6: Cho hình vuông ABCD có chu vi bằng 16cm. Độ dài đường chéo AC của hình vuông là:
A. 4cm B. √32cm C. 8cm D. 10cm
Bài 1: (3 điểm)
a) Chứng tỏ rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc tù.
b) Cho hình bình hành ABCD có chu vi bằng 10cm và chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD?
Bài 2: (3 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AD bà BC. Gọi K là giao điểm của AC và EF.
a) Chứng minh AK = BC
b) Biết AB = 4cm; CD = 10cm. Tính các độ dài EK và KF.
Bài 3: (1 điểm) Cho ΔABC có ba góc nhọn. D là điểm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Xác định vị trí của điểm D để tổng BE + CF đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: C | Câu 2: B | Câu 3: A |
| Câu 4: D | Câu 5: C | Câu 6: B |
Bài 1: (3 điểm)
a) Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác đó lớn hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác bằng 360o. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.
b) Nửa chu vi hình bình hành là: 10 : 2 = 5 (cm)
Hay AB + AD = 5cm (1)
Mặt khác, ta có:
AB + AD + BD = 9cm (gt) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD = 4cm
Bài 2: (3 điểm)
a) Vì E là trung điểm của AD (3) và F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
Suy ra EF // DC.
Vì nên EF // CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AK = KC (Định lý)
b) Trong ΔADC có EA = ED (gt), AK = KC (chứng minh trên) nên EK là đường trung bình của ΔADC.
Suy ra:
Tương tự, ΔABC có KF là đường trung bình nên
Bài 3: (1 điểm)
Ta có:
BE ⊥ AD => BE ≤ BD
CF ⊥ AD => CF ≤ CD
Do đó:
BE + CF ≤ BD + CD = BC (không đổi)
Dấu “=” xảy ra <=> E, D, F trùng nhau
<=> D là hình chiếu của A trên cạnh BC.
Câu 1: Tứ giác ABCD có ∠A = 100o; ∠B = 120o; ∠C - ∠D = 20o . Số đo ∠D là:
A. 50o B. 60o C. 70o D. 80o
Câu 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Khi đó:
A. DH = CK B. DH < CK C. DH > CK
Câu 3: Đúng ghi Đ, sai ghi S điền vào chỗ chấm:
a) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. ....
b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. ....
c) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành. ....
d) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. ....
Câu 4: Cho hình vẽ bên, biết A’; B’ và M’ đối xứng với A, B và M qua điểm O; biết MB = 3,5cm và A’B’ = 4,8cm. Độ dài đoạn thằng A’M’ là:
A. 1cm C. 1,1cm
B. 1,2cm D. 1,3cm
Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Điểm E tùy ý trên đường chéo AC. Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của E trên các cạnh CD và BC. Khi đó tứ giác CGEF là:
A. Hình thoi
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình bình hành
Bài 1: (2 điểm) Cho hình thang cân ABCD (BC // AD). Biết AB = BC = CD và ∠CAD = 40o . Tính các góc của hình thang?
Bài 2: (4 điểm) Cho ΔABC . Kẻ đường cao BH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC; E và F lần lượt là hình chiếu của M và N trên cạnh AC. Chứng tỏ:
a) ME = NF
b) EF = AC/2
c) Tứ giác MEFN là hình gì? Vì sao?
Bài 3: (1 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa tổng bốn cạnh của tứ giác.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: B | Câu 2: A | Câu 3:a)S b)Đ c)Đ d)S |
| Câu 4: D | Câu 5: C |
Bài 1: (2 điểm)
Ta có:
∠BCA = ∠CAD = 40o (so le trong)
ΔABC cân tại B (giả thiết)
Suy ra: ∠ABC = 180o - 2∠BCA = 180o - 80o = 100o
Vì ABCD là hình thang cân (BC // AD) nên ∠BCD = ∠ABC = 100o; ∠BAD = ∠CDA = 180o - ∠ABC = 180o - 100o = 80o
Bài 2: (4 điểm)
a) ΔABH có MA = MB (gt) và ME // BH (cùng vuông góc với AC) nên EA = EH.
Suy ra ME là đường trung bình của
Suy ra ME = BH/2 (1)
Tương tự trong ΔBHC có NF là đường trung bình nên NF = BH/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ME = NF
b) Theo câu a) ta có:
c) Trong ΔABC có MA = MB; NB = NC (gt), nên MN là đường trung bình của ΔABC. Suy ra MN // AC.
Mà ME ⊥ AC suy ra ME ⊥ MN
Tứ giác MEFN có ∠M = ∠E = ∠F = 90o nên MEFN là hình chữ nhật.
Bài 3: (1 điểm)
Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Ta có:
OA + OB > AB
OB + OC > BC
OC + OD > CD
OD + OA > DA
Suy ra 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
Suy ra 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
Suy ra AC + BD > (1/2).(AB + BC + CD + DA)
Vậy trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo luôn lớn hơn tổng bốn cạnh của tứ giác.
Câu 1: Cho hình bên, biết hình thang ABCD (AB // CD). Số đo góc ∠DAC là:
A. 80o C. 100o
B. 90o D. 110o
Câu 2: Cho tứ giác ABCD biết số đo bốn góc ∠A; ∠B; ∠C; ∠D lần lượt tỉ lệ với các số 2; 3; 4; 6. Số đo bốn góc ∠A; ∠B; ∠C; ∠D lần lượt là:
A. 30o; 45o; 130o; 155o
B. 45o; 60o; 100o; 155o
C. 35o; 55o; 95o; 175o
D. 48o; 72o; 96o; 144o
Câu 3: Cho hình thang MNPQ (MN // PQ). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh MQ và NP. Biết MN = 4cm; PQ = 12cm. Độ dài đoạn thẳng EF là:
A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD biết ∠B + ∠D = 300o. Số đo hai góc ∠B và ∠D lần lượt là:
A. 100o; 200o B. 120o; 180o C. 150o; 150o D. 160o; 140o
Câu 5: Các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tạo thành:
A. Hình thang
B. Hình chữ nhật
C. Hình bình hành
D. Hình thoi
Câu 6: Chọn kết quả không đúng.
Trong các hình sau, hình có tâm đối xứng là:
A. Tam giác đều
B. Đoạn thẳng AB
C. Hình bình hành
D. Đường tròn tâm O
Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng trong hình bình thang có hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.
Bài 2: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có ∠A = 110o . Ở phía ngoài của hình bìn hành vẽ các tam giác đều ABE và ADF.
a) Tính số đo ∠BAF
b) Chứng minh ΔEAF = ΔCDF
c) Chứng minh ΔEFC là tam giác đều
Bài 3: (1 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: B | Câu 2: D | Câu 3: C |
| Câu 4: C | Câu 5: B | Câu 6: A |
Bài 1: (2 điểm)
Giả sử hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Ta cần chứng minh
Gọi M là trung điểm của AD
Ta có E là trung điểm của BD (gt).
Suy ra ME // AB và ME = AB/2(1)
Ta lại có F là trung điểm của AC (gt).
Suy ra MF là đường trung bình của ΔADC
Suy ra MF // CD và MF = CD/2 (2)
Vì AB // CD nên từ (1) và (2) suy ra M, E, F thẳng hàng.
Do đó:
Bài 2: (4 điểm)
b) Vì ABCD là hình bình hành nên:
Xét ΔEAF và ΔCDF có:
AE = DC (vì cùng bằng AB)
∠EAF = ∠CDF = 130o
AF = DF (gt)
Suy ra ΔEAF = ΔCDF (c.g.c)
c) Ta có : ΔEAF = ΔCDF (chứng minh trên) => EF = CF
Tương tự ta cũng có ΔCDF = ΔEBC (c.g.c) => CF = EC
Vậy ΔEFC là tam giác đều
Bài 3: (1 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.
Ta có: OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)
OC + OB > CD (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra OA + OB + OC + OD > AB + CD
Hay AC + BD > AB + CD
Tương tự AC + BD > AD + BC
Vậy trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa tổng độ dài hai cạnh đối.
| Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
| Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
| Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
| Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
| LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
| Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
| Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
| Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
| Vui | Buồn | Bình thường |
Học ngoại ngữ với Flashcard
Trợ lý ảo
Gia sư
Học gia sư
Xem thêm 
Thưởng th.10.2024
Bảng xếp hạng
