Trang chủ
Giải bài tập Online
Flashcard - Học & Chơi
Dịch thuật
Cộng đồngTrắc nghiệm tri thức
Khảo sát ý kiến
Hỏi đáp tổng hợp
Đố vui
Đuổi hình bắt chữ
Quà tặng và trang trí
TruyệnThơ văn danh ngôn
Xem lịchCa dao tục ngữXem ảnhBản tin hướng nghiệp
Chia sẻ hàng ngày
Bảng xếp hạngBảng Huy hiệuLIVE trực tuyếnĐề thi, kiểm tra, tài liệu học tập
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Hãy tính số đường chéo trong một lục giác.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Từ mỗi đỉnh của lục giác ta vẽ được ba đường chéo (chẳng hạn AC, AD, AE). Vậy từ 6 đỉnh ta vẽ được 3.6 = 18 đường chéo trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần.
Vậy có: 18/2 = 9 (đường chéo)
Cho lục giác ABCDEF có tất cả các cạnh bằng nhau và có ∠A = ∠B = ∠C = ∠E. Chứng minh rằng ABCDEF là lục giác đều.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Nối BD, BF, DF ta có:
∆ ABF =∆CDB = ∆EFD (c.g.c)
=> BF = BD = FD
Vậy lục giác ABCDEF là lục giác đều vì có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60o. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA. Chứng minh ràng EBFGDH là lục giác đều.
Đáp án và Hướng dẫn giải
∆ABD cân (AB = AD) có ) ∠A = 60o (gt) nên ∆ABD đều
=> AB = BC = CD = AD = BD
Và EH, FG lần lượt là các đường trung bình của ∆ABD và ∆CBD.
Ta có EH = FG = BD/2
Lại có E, F, G, H là các trung điểm của AB, BC, CD, DE
nên EB = BF = FG = GD = DH = HE (1)
Từ (1) và (2) => EBFGDH là lục giác đều.
a) Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Chứng minh rằng SABM = SACM = BM : CM.
b) Chứng minh rằng trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Kẻ đường cao AH ta có:
SABM = (1/2)BM.AH
SACM = (1/2)CM.AH
=> SABM : SACM = BM : CM.
b) Gọi AH là đường cao và AM là trung tuyến của ∆ABC ta có:
SAMB = (1/2)BM.AH
SAMC = (1/2)CM.AH mà BM = CM
=> SAMB = SAMC ( chung đường cao, hai đáy tương ứng bằng nhau).
Bài :
Gọi AM là trung tuyến và G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh:
SBGM = (1/6)SABC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Vì AM là trung tuyến và G là trọng tâm của ∆ABC ta có GM = 1/3AM.
Kẻ đường cao BH ta có :
SABM = (1/2)AM.BH
SBGM = (1/2)GM.BH
Mà GM = (1/3)AM (tính chất trọng tâm)
=> SBGM = (1/3)SABC mà SABM = (1/2)SABC
Do đó: SBGM = (1/6)SABC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) BN là trung tuyến của ∆ABC nên
SANB = SBNC = (1/2)SABC (chung đường cao, đáy tương ứng bằng nhau).
Tương tự NM là trung tuyến của ∆ANB nên SAMN = SBNM = (1/2)SANB.
Do đó: SAMN = (1/4)SABC hay SABC = 4SAMN.
b) Ta có C’B’, B’A’, A’C’ là các đường trung bình của ∆ABC nên các tam giác sau đây bằng nhau:
∆ AC’B’ = ∆A’B’C’ = ∆C’BA’ = ∆B’A’C (c.c.c)
=> S1 = S2 = S3 = S4 = (1/2)SABC
Hay SA’B’C’ = (1/4)SABC = 12/4 = 3cm2.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) So sánh SMNPQ với SABCD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có MN là đường trung bình của ∆ABC
=> MN // AC và MN = AC/2
Tương tự QP // AC và QP = AC/2
Do đó MN // QP và MN = QP
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Theo câu b) đề số 2 ta có:
Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Chứng minh SBNDM = SABCD/2.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Nối BD, gọi diện tích các tam giác (theo hình vẽ) là S1, S2, S3, S4. Ta có BN là trung tuyến của ∆BCD nên S1 = S2 (chung đường cao, đáy bằng nhau)
Tương tự S3 = S4
=> S2 + S3 = S1 + S4 = SABCD/2
hay SBNDM = SABCD/2.
Cho tam giác ABC, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có : SHBC = (BC/2).HA’; SABC = (BC/2).AA’
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có :
Cho tam giác ABC, lấy P, Q lần lượt là trung điểm cạnh AB và AC. Kẻ BE, CF cùng vuông góc với PQ.
a) Chứng minh rằng BCFE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh SBCFE = SABC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có PQ là đường trung bình của ∆ABC nên PQ // BC.
Lại có BE // CF (⊥ PQ) nên BCFE là hình bình hành có một góc vuông. Do đó BCFE là hình chữ nhật.
b) Kẻ AH ⊥ PQ. Ta có ∆AHP = ∆BEP (ch–gn)
Tương tự ∆AHQ = ∆CFQ (ch–gn)
Gọi S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích các tam giác AHP, BEP, AHQ VÀ CFQ.
Ta có: S1 = S2 và S3 = S4
mà SBCEF = S2 + SBPQC + S4 và SABC = S1 + SBPQC + S3.
Do đó : SBCEF = SABC.
Cho tam giác đều ABC. Một điểm M thuộc miền trong của tam giác. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ BC, MF ⊥ AC.
Chứng minh rằng: Tổng MD + ME + MF không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có SABC = SAMB + SBMC + SCMA
hay (1/2)BC.AH = (1/2)AB.MD + (1/2)BC.ME + (1/2)AC.MF
=> (1/2)BC.AH = (1/2)BC(MD + ME + MF)
=> AH = MD + ME + MF
AH không đổi nên tổng MD + ME + MF không đổi.
Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm tùy ý trên cạnh AB. Chứng minh rằng: SABCD = 2SEDC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ EF ⊥ DC ta có ∆DAE = ∆EFD (c.g.c)
Tương tự ∆EBC = ∆CFE.
Gọi S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích các tam giác (theo hình vẽ), ta có
S1 = S2; S3 = S4
=> S2 + S3 = S1 + S4
hay SEDC = (1/2)SABCD => SABCD = 2.SEDC.
Cho hình chữ nhật ABCD, từ M bất kì trên AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại N và đường chéo BD tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng hai hình chữ nhật MIQA và NIPC có cùng diện tích.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ∆ABD = ∆CDB (c.g.c)
=> SABD = SCBD
Tương tự S1 = S2; S3 = S4.
Do đó: SABD – (S1 + S3) = SCDB – (S2 + S4)
hay SMIQA = SNIPC.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, AC = 10cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD.
a) Tính SMNPQ.
b) Chứng minh rằng: SAMNB = SCPQD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có MN và PQ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác AOB và COD mà AB // CD và AB = CD nên MN // PQ và MN = PQ.
Tương tự NP // BC mà AB ⊥ BC nên MN ⊥ NP. Do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Trong ΔABC ta có
Vậy SMNPQ = MN.PQ = 3.4 = 12 (cm2).
b)Dễ thấy ΔAOB = ΔCOD (c.c.c). tương tự ΔMON = ΔPOQ
Do đó: SAOB = SCOD và SMON = SPOQ.
=> SAOB - SMON =SCOD - SPOQ hay SAMBN = SCPPD.
Bài 1:
Cho hình thang vuông ABCD, M là trung điểm của CD, N là trung điểm của AD. Gọi I là giao điểm của AM và BN.
Chứng minh rằng: SDMN = SAIB.
Bài 2:
Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm tùy ý trên AB.
Chứng minh rằng: SABCD = 2SECD
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Ta có ∆BAN=∆ADM (c.g.c)
=> SBAN = SADM
=> SBAN – SAIN = SADM – SAIN hay SAIB = SDMIN.
Bài 2:
Kẻ EF ⊥ CD ta có: ∆BCE=∆FEC (c.g.c), tương tự ∆AED=∆FDE.
Do đó (theo hình vẽ):
S1 = S2 và S3 = S4
=> S2 +S3 = S1 + S4 = (1/2)SABCD
Hay SECD = (1/2)SABCD => SABCD = 2SECD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Goị O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh rằng: SAOD = SBOC.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại E và DC tại F.
Chứng minh rằng: SABCD = SAEDF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Ta có SADC = SDBC (chung đáy DC và đường cao AH = BK)
=> SADC – SDOC = SDBC – SDOC hay SAOD = SBOC.
b) Ta có ∆BME=∆CMF (g.c.g)
=> SBME = SCMF
=> SBME + SABMFD = SCMF + SABMFD
Hay SAEFD = SABCD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên AD và BC, kẻ MH ⊥ CD (H thuộc CD) và MH cắt đường thẳng AB tại I. Kẻ NH ⊥ CD (K thuộc CD) và NK cắt AB tại L. Chứng minh: SABCD = SHKLI.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ∆AMI=∆DMH (ch – gn)
=> S1 = S2 tương tự S3 = S4.
SABCD = S2 + SABNHK + S4
SHKLI = S1 + SABNHK + S3
Vậy SABCD = SHKLI.
Chứng minh rằng: Đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình và cắt hai đáy của hình thang thì chia hình thang thành hai đa giác có diện tích bằng nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của đường trung bình MN và đường thẳng EF đi qua I. Khi đó các tứ giác AEFD, BEFC cũng là các hình thang nên:
(tính chất đường trung bình bằng nửa tổng hai cạnh đáy)
Tương tự: SBEFC = ((BE+CF).AH)/2= NI.AI mà MI = NI (gt)
=> SAEFD = SBEFC
Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của hai đáy AD và BC của hình thang ABCD. Từ điểm O tùy ý thuộc đoạn MN, kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên tại E và F. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có MA = MD, NC = NB (gt) và AD // BC.
Theo đề bài số 15 ta có:
SAMNB = SDMNC
(các hình thang có các đáy bằng nhau vì chung đường cao)
Lại có SAEM = SDFM (đáy AM = DM và đường cao từ E và F bằng nhau vì EF // AD)
Tương tự SBEN = SNFC
=> SAMNB – (SAEM + SBEN) = SDMNC – (SBEN + SNFC)
hay SEMN = SFMN => EP = PQ
Ta có:
∠EOP = ∠QOF (đối đỉnh) và EP = PQ (cmt),
∠EPO = ∠FQO = 90o
Do đó ∆EPO=∆FQO (ch–gn) => OE = OF hay O là trung điểm của EF.
Cho hình bình hành ABCD, từ A và C kẻ AH, CK cùng vuông góc với đường chéo BD. Chứng minh rằng hai đa giác ABCH và ADCK có cùng diện tích.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có ∆AHD = ∆CKB (ch–gn),
tương tự ∆AKB = ∆CHD
=> S1 = S2 và S3 = S4
Do đó : S1 + S3 + SAHCK = S2 + S4 + SAHCK
hay SADCK = SABCH.
Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của ∠A và ∠C cắt đường chéo BD tại E và F. Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE và ADCFE có diện tích bằng nhau.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ABCD là hình bình hành => ∠A = ∠C.
Do AE và CF là hai phân giác của ∠A và ∠C nên :
∠A1 = ∠A2 = ∠C1 = ∠C2
Xét hai tam giác ABE và CDF có :
∠A1 = ∠C2 ; AB = AD; ∠B1= ∠D1 (so le trong)
=> ∆ABE = ∆CDF (g.c.g)
Tương tự ∆ADE = ∆CBF
=> SABE + SCFB = SCDF + SADE => S_ABCFE = SADCFE
Cho hình bình hành ABCD có ∠D = 30o, AD = 8cm, DC = 7,5cm.
a) Tình diện tích hình bình hành ABCD.
b) Kẻ AK ⊥ CB (K thuộc CB). Tính AK.
Đáp án và Hướng dẫn giải
a) Kẻ đường cao AH. Ta có ∆AHD vuông có
∠D = 30o => AH = AD/2 = 4 (cm )
Vậy SABCD = DC.AH = 7,5.4 = 30 (cm2).
b) Ta có AH.DC = AK.BC
Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Kẻ đường cao AH. Ta có : SABCD = AD.BH
∠B1 = ∠C1 = 45o
OB = OC
∠O1 = ∠O2 (cùng phụ với ∠BOF)
Mà BH ≤ AB (cạnh góc vuông và cạnh huyền)
Do đó SABCD ≤ AB.AD = AB2
SABCD ≤ AB2
Dấu “=” xảy ra <=> ABCD là hình vuông. Vậy trong các hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Cho hình vuông ABCD có cạnh a, giao điểm hai đường chéo là O. Một góc vuông ∠xOy sao cho Ox cắt cạnh AB tai E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính SOEBF theo a.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: SOEBF= SOEB + SOFB.
Nối O với A. Xét ∆OEB và ∆OFC có:
∠B1 = ∠C1 = 45o
OB = OC
∠O1 = ∠O2 (cùng phụ với ∠BOF)
=> ∆OEB= ∆OFC (g.c.g)
Do đó: SOEBF = SOFC + SOFB = SOBC = SABCD/4= a2/4.
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F, G, H lần lượt trên các cạnh AB, CD và DA sao cho tứ giác EFGH có hai đường chéo EG và FH vuông góc với nhau. Chứng minh : SEFGH ≥ SABCD/2
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi H’ là hình chiếu của H trên BC và G’ là hình chiếu của G trên AB
Ta có: SEFGH = (1/2).EF.GH
Và SABCD = AD.CD;
EG ≥ GG’= AD;
HF ≥ HH’ = CD
Do đó: SEFGH = (1/2).SABCD.
Tính diện tích phần tô màu trên hình vẽ.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Phần tô màu hình thang có:
đáy AB = 20cm.
đáy lớn CD = 70 = 40 = 30 (cm)
và chiều cao HK= 50cm
Cho đa giác n-cạnh có diện tích S, các đường thẳng a, b, c cắt nhau tại A, B, C nằng trong tam giác sao cho mỗi đường thẳng chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Chứng minh rằng SABC < S/4.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Gọi diện tích các phần của đa giác được chia bởi các đường thẳng là S1, S2, S3,…
Ta có: S1+ S2+ S3= S/2 = S1+ S6 + S5 + S7
=> S2= S5+ S7 mà S/2 = S1+ S2+ S3+ S7
=> S/2 = S1+ S5+ S3+ S7 > 2S7 => S7 < S/4
Vậy SABC < S/4.
Ngũ giác ABCDE có các đỉnh lần lượt theo thứ tự đó. Có các điều kiện sau: BD // AE; CH ⊥ AE (H ∈ AE). Gọi I là giao điểm của BD và CH.
Chứng minh rằng: SABCDE = (1/2).(BD.CH + AE.HI).
Đáp án và Hướng dẫn giải
Ta có: SABCDE = SBCDH + SABH + SEDH
Mà SABH = SAIH (cùng chung đáy AH và hai đường cao bằng nhau)
Tương tự SEDH = SEIH .
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên:
=> SABH + SEDH = SAIH + SEIH .
= SAIE = (1/2).AE.IH
Lại có SBCDH = (1/2).BD.CH (tứ giác BCDH có hai đường chéo vuông góc)
=> SABCDE = (1/2).BD.CH + (1/2).AE.IH = (1/2).(BD.CH + AE.IH).
Bài 1: Tính diện tích tam giác vuông cân biết cạnh huyền là 4cm.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) và AB < CD. Qua trung điểm M của cạnh bên BC kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD ở E và AB ở F.
a) Chứng minh tứ giác AFED là hình bình hành.
b) Chứng minh SADE = SABEC = (1/2).SABCD.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Trên các tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho BE = BA, CF = CB, DG = DC và AH = AD. Chứng minh rằng : SABCD = (1/2)SEFGH
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Đặt hai cạnh góc vuông AB, AC là x ta có:
x2 +x2 = 42 (định lí Py-ta-go)
=> 2x2 = 16 => x2 = 8 => x = √8 (cm)
Do đó:
Bài 2:
Ta có ∆BFM = ∆CEM (g.c.g) => SBFM = SCEM
Do đó: SABCD = SAEFD
AEFD là hình bình hành (AF // DE và AD // FE)
=> ∆ADE = ∆EFA (c.c.c)
=> SADE = SEFA = SAFED/2 = SABME + SBMF = SABME + SCEM
Do đó: SADE = SABEC = SAFED/2 = SABCD/2.
Bài 3:
Ta có BA là trung tuyến của ∆HBD nên SBAH = SBAD.
HB là trung tuyến của ∆HEA nên SBAH = SBEH
Do đó SHEA = 2SBAD.
Chứng minh tương tự ta có:
SEFB = 2SABC
SCFG = 2SBCD
SHDG = 2SADC
mà SEFGH = SHEA + SEFB + SCFG + SHDG + SABCD
= 2(SABD + SBCD) +2(SABC + SADC) + SABCD
= 2SABCD + 2SABCD + SABCD = 5SABCD
SABCD = SEFGH/5
Bài 1: Tính đường cao của tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông là 6cm và 8cm.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng : SMNBD = SABCD.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh AICJ là hình bình hành.
b) Biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 48cm2. Tính diện tích AICJ.
c) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AJ, CI với BD. Chứng minh rằng BD = 3DE.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Ta có: BC2 = AB2 + AC2
= 62 + 82 (định lí Py-ta-go)
Bài 2:
Nối hình chéo BD, ∆BCD có BD là trung tuyến nên S1 = S2 (đáy bằng nhau, chung đường cao)
Tương tự: S3 = S4
=> S2 + S3 = S1 + S4 = SABCD/2
hay SMBND = SABCD/2
Bài 3:
a)Ta có: AI // CJ và AI = CJ nên AICJ là hình bình hành.
b)Nối hình chéo AC ta có:
SADJ = SACJ = SACI = SBCI do đó
SACJ + SACI = SADJ + SBCI = SABCD/2
hay SAICJ = SABCD/2 = 24cm2.
c)Ta có IF // AE và I là trung điểm của AB (gt) nên IF là đường trung bình của ∆ABE nên F là trung điểm của EB hay FE = FB.
Tương tự ta có E là trung điểm DF nên ED = EF.
Vậy DE = EF = FB hay BD = 3DE.
Chú ý: Các bạn có thể giải câu c) bài 3 bằng cách khác: ta có E, F là trong tâm các tam giác ACD và ABC
Bài 1:
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính diện tích tứ giác EFGH, biết AC = 8cm và BD = 6cm.
Bài 2:
Cho hình bình hành ABCD, vẽ bốn đoạn thẳng nối lần lượt các đỉnh A, B, C, D với các trung điểm P, Q, R, S của các cạnh CD, AD, AB và BC. Chứng minh rằng tứ giác tạo bở các đường thẳng này có diện tích bằng 1/5 diện tích hình bình hành ABCD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Ta có EF, HG lầ lượt là các đường trung bình của ∆ABC và ∆ADC nên EF // HG // AC và EF = HG. Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành.
Tương tự EH // BD.
Mà BD ⊥ AC ( gt ) => EF ⊥ EH, do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật và EF = AC/2 = 4 (cm), EH = BD/2 = 3 (cm).
Vậy SEFGH = EF.EH = 12 (cm2)
Bài 2:
Nối A với C ta có AP là đường trung tuyến của ∆ACD nên
Gọi H là giao điểm của AP và BQ , K là giao điểm của CR và BQ, M là giao điểm của AP với DS, N là giao điểm của CR và DS.
Dễ thấy HKNM là hình bình hành nên các tam giác sau đây có cùng diện tích:
SAKH = SHKM = SMNH = SMNC = SAKB = SMCD
Mà SAKR = SAKB/2 (đáy gấp đôi, chung đường cao)
Bài 1: Tính diện tích hình vuông biết đường chéo là 8cm.
Bài 2:
Trên cạnh DC của hình bình hành ABCD lấy một điểm E. Gọi I là giao điểm của AE và đường chéo BD.
CHứng minh rằng : SABE – SDIE = SBIEC.
Bài 3: Cho tam giác ABC, trên tia AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
a) Chứng minh FD = FC.
b) Chứng minh SABC = 2SAFB.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Gọi các cạnh hình vuông là x, ta có ∆ABC vuông cân cạnh x.
x2 + x2 = 82 (định lí Py-ta-go)
=> 2x2 = 64 => x2 = 32 => x=√32 (cm)
Vậy SABCD = x2 = (√32)2 = 32 (cm2).
Bài 2:
Ta có AB = CD (gt)
=> SAEB = SBDC ( hai đáy bằng nhau hai đường cao tương ứng bằng nhau)
Mà SBDC – SBIE = SBIEC
Do đó : SABE – SDIE = SBIEC
Bài 3:
a) Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BE
=> D là trung điểm của MA.
Gọi I là trung điểm của NE. Khi đó DI // AE
Trong ∆CDI có E là trung điểm của IC và EF // DI nên F là trung điểm của CD (đường trung bình của tam giác) hay FD = FC.
b) Ta có : SAFB = SAFD + SDFB
mà SAFD = SADC/2 (vì F là trung điểm của DC)
và SDFB = SBDC/2 (vì F là trung điểm của DC)
=> SAFD + SDFB = (1/2).(SADC + SBDC )
=> SAFB = SABC/2
Do đó : SABC = 2SAFB
Bài 1: Cho hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài 3,6cm và 6cm. Tính diện tích hình thang.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, một điểm D bất kì trên đáy BC, kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC. Chứng minh rằng tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC.
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB là đáy nhỏ). Qua trung điểm I của BC kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB tại M và CD tại N.
a) Chứng minh rằng: SABCD = SAMND.
b) Kẻ AH, DK lần lượt vuông góc với MN, chứng minh : SABCD = SAHKD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:
SADC = (1/2).AC.OD
SABC = (1/2).AC.OB
=> SADC + SABC = (1/2).AC(OD + OB)
Hay SABCD = (1/2).AC.BD = (1/2)..6.3,6 = 10,8 (cm2).
Cách 2 : Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Bài 2:
Kẻ đường cao BH. Ta có : SABD + SADC = SABC
Hay (1/2).AB.DE + (1/2).AC.DF = (1/2).AC.BH
Vì AB = AC (gt) => AC.DE + AC.DF = AC.BH
=> AC(DE + DF) = AC.BH
=> DE + DF = BH(không đổi).
Bài 3:
a) Ta có : ∆BIM=∆CIN (g.c.g) => SBIM = SCIN
mà SABCD = SABIND + SCIN
SABMD = SABIND + SBIM
=> SABCD = SAMND
b)Ta có ∠AMN = ∠MNC(so le trong),
∠MNC = ∠DNK (đối đỉnh)
=> ∠AMN = ∠DNK
Lại có AH và DK cùng vuông góc với MN (gt) nên các tam giác vuông AHM và DNK bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn)
=> SAHM = SDKN
Khi đó SAHKD = SAHND + SDKN và SAMND = SAHND + SAHM
=> SAHDK = SAMND và SAMND = SABCD => SABCD = SAHKD
Câu 1: Điền vào chỗ trống (…) để được khẳng định đúng.
Đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc là ………
Câu 2: Cho đa giác có 5 cạnh. Số đường chéo của đa giác này là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 3: Cho đa giác có số đường chéo là 9. Đa giác đó có số cạnh là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 4: Khi chiều dài hình chữ nhật tăng lên 3 lần và chiều rộng không dổi thì diện tích hình chữ nhật về sau sẽ:
A. Tăng lên 3 lần
B. Tăng lên 6 lần
C. Tăng lên 9 lần
D. Giảm đi 3 lần
Câu 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh 12cm (hình bên), AE = xcm, SABC = SABCD/3 . Độ dài của x là:
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
Câu 6: Biết độ dài hai đường chéo của hình thoi là 4cm và 7cm. Diện tích hình thoi là:
A. 28cm2 B. 14cm2 C. 7cm2 D. 56cm2
Bài 1: (3 điểm)
a) Tính tổng các góc trong của đa giác 5 cạnh.
b) Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi F là giao điểm hai đường chéo AC và BE. Chứng minh tứ giác CFED là hình thoi.
Bài 2: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Đường thẳng BQ cắt AP tại E và cắt MC tại F. Đường thẳng DN cắt AP tại S và cắt MC tại R.
a) Chứng minh tứ giác EFRS là hình bình hành.
b) Tính diện tích hình bình hành EFRS theo S.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: Đa giác đều | Câu 2: C | Câu 3: B |
| Câu 4: A | Câu 5: D | Câu 6: B |
Bài 1: (3 điểm)
a) Nối AC; AD
Ngũ giác ABCDE được chia thành 3 tam giác: ΔABC, ΔACD, ΔADE. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180o.
Tổng các góc trong của ngũ giác ABCDE là 180o.3=540o
b) Vì ABCDE là ngũ giác đều nên
Mặt khác, ΔABC cân tại B nên:
Suy ra ED // AC hay ED // CF.
Chứng minh tương tự ta có EF // CD
Mặt khác ED = DC (gt) nên tứ giác CEFD là hình thoi.
Bài 2: (4 điểm)
a) Ta có AB // CD (gt)
Suy ra AM // CP (1)
Lại có AM = AB/2; CP = CD/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AMCP là hình bình hành
Suy ra AP // CM hay ES // FR.
Tương tự ta cũng chứng minh được tứ giác BQDN là hình bình hành nên BQ // DN. Suy ra EF // RS.
Vậy tứ giác EFRS là hình bình hành
b) Đặt PS = x. Suy ra CR = 2x (tính chất đường trung bình)
Từ đó suy ra RF = ES = AE = 2x
Suy ra: ES = 2AP/5 => SEFRS = 2SAMCP/5
Vì SAMCP = SABCD/2 nên SEFRS = SABCD/2
Câu 1: Cho đa giác có 10 cạnh. Số đường chéo của đa giác đó là:
A. 30 B. 35 C. 40 D. 70
Câu 2: Một đa giác có 14 đường chéo. Số các cạnh của đa giác đó là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 3: Tổng các góc ngoài của một đa giác bằng:
A. 180o B. 90o C. 540o D. 360o
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Số đo mỗi góc của lục giác đó là:
A. 108o B. 120o C. 150o D. 360o
Câu 5: Cho ΔABC (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó:
A. SABM = SACM B. SABM > SACM C. SABM < SACM
Câu 6: Khi chiều dài của hình chữ nhật tăng lên bốn lần và chiều rộng giảm đi hai lần thì diện tích của hình chữ nhật mới sẽ:
A. Tăng lên 3 lần
B. Tăng lên 2 lần
C. Giảm đi 3 lần
D. Giảm đi 2 lần
Bài 1: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng số đo mỗi góc của n-giác đều là
b) Tìm số đường chéo của đa giác có 12 cạnh.
Bài 2: (2 điểm) Diện tích của hình chữ nhật tăng lên bao nhiêu phần trăm nếu mỗi cạnh tăng 20%.
Bài 3: (2 điểm) Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6cm và một trong các góc của nó bằng 30o.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: B | Câu 2: C | Câu 3:D |
| Câu 4: B | Câu 5: A | Câu 6: B |
Bài 1: (3 điểm)
a) Vẽ một n-giác lồi rồi vẽ các đường céo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi đó ta được (n-2) tam giác.
Tổng các góc của hình n-giác lồi bằng tổng các góc của (n-2) tam giác; tức là có số đo bằng (n – 2).180o
Hình n-giác lồi đều có n góc bằng nhau nên mỗi góc có số đo bằng
b) Qua mỗi đỉnh của hình n-giác lồi vẽ được (n – 3) đường chéo. Hình n-giác có n đỉnh nên vẽ được n(n – 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính 2 lần. Do đó hình n-giác lồi có tất cả n(n - 3)/2 đường chéo.
Thay n = 12, ta được số đường chéo là: 12(12 - 3)/2 = 54 (đường chéo)
Bài 2: (1 điểm)
Gọi x; y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật đã cho.
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy.
Nếu mỗi cạnh cùng tăng 20% thì độ dài các cạnh về sau của hình chữ nhật là:
Phần diện tích được tăng lên là:
Vậy khi mỗi cạnh của hình chữ nhật cùng tăng 20% thì diện tích của hình chữ nhật tăng lên 44%.
Bài 3: (1 điểm)
Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)
Tam giác ABH vuông tại H
Lại có ∠ = 30o nên ΔAHB là nửa tam giác đều
Suy ra AH = AB/2 = 6/2 = 3 (cm)
Vậy: SABCD = AH.BC = 3.6 = 18 (cm2)
Câu 1: Đa giác có tổng số đo góc ngoài bằng tổng số đo góc trong là:
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Lục giác
Câu 2: Một đa giác (lồi) có nhiều nhất số các góc nhọn là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 3: Một đa giác lồi có 8 cạnh. Số đường chéo của đa giác đó là:
A. 10 B. 15 C. 18 D. 20
Câu 4: Một hình chũ nhật và một hình bình hành đều có hai cạnh là a và b (cùng đơn vị). Khi đó:
A. Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình bình hành.
B. Diện tích hình chữ nhật nhỏ hơn diện tích hình bình hành.
C. Diện tích hình chữ nhật lớn hơn diện tích hình bình hành.
Câu 5: Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, biết AB = 5cm và AO = 3cm. Diện tích hình thoi ABCD là:
A. 12cm2 B. 24cm2 C. 36cm2 D. 48cm2
Câu 6: Cho hình vuông có diện tích 16cm2. Chu vi của hình vuông là:
A. 16cm B. 8cm C. 12cm D. 24cm
Bài 1: (3 điểm)
a) Một đa giác đều có tổng số đo góc ngoài và một góc trong của đa giác bằng 468o. Hỏi đa giác đó có mấy cạnh?
b) Cho ΔABC vuông tại A, biết AB = 6cm, BC = 10cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: (2 điểm) Diện tích hình chữ nhật giảm đi bao nhiêu phần trăm nếu mỗi cạnh của nó đều giảm đi 10%?
Bài 3: (2 điểm) Tính diện tích hình thang, biết các đáy có độ dài 7cm và 11cm, một trong các cạnh bên dài 10cm và tạo với đáy một góc có số đo bằng 30o.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: B | Câu 2: A | Câu 3: D |
| Câu 4: C | Câu 5: B | Câu 6: A |
Bài 1: (3 điểm)
a) Gọi số cạnh của đa giác đều là n
Một góc trong của đa giác đều n-cạnh có số đo là
Tổng số đo các góc ngoài của đa giác đều n-cạnh là 360o
Ta có:
=> n(360o + 180o - 468o) = 360o
<=> n.72o = 360o
<=> n = 5
Vậy đa giác đều có 5 cạnh.
b) Ta có: AB2 + AC2 = BC2 (Py-ta-go)
<=> 62 + AC2 = 102
=> AC2 = 64 => AC = 8 (cm)
Diện tích tam giác ABC là: (6.8)/2 = 24 (cm2)
Bài 2: (2 điểm)
Gọi x; y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật đã cho.
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là xy.
Nếu mỗi cạnh cùng giảm 10% thì độ dài các cạnh về sau của hình chữ nhật là:
Phần diện tích bị giảm đi là:
Vậy khi mỗi cạnh của hình chữ nhật cùng giảm đi 10% thì diện tích của hình chữ nhật giảm đi 19%.
Bài 3: (2 điểm)
Giả sử hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 7cm, BC = 10cm, CD = 11cm và
Kẻ BH ⊥ CD (H ∈ CD) Tam giác BHC vuông tại H lại có ∠C = 30o nên tam giác BHC là nửa tam giác đều. Suy ra
Diện tích hình thang ABCD là:
Câu 1: Số đo góc của hình n-giác đều là:
Câu 2: Cho đa giác có 10 cạnh, số đường chéo của đa giác đó là:
A. 35 B. 30 C. 25 D. 20
Câu 3: Cho đa giác có số đường chéo là 27. Đa giác đó có số cạnh là:
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
Câu 4: Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu chiều dài và chiều rộng đều tăng lên bốn lần?
A. Tăng lên 4 lần
B. Tăng lên 8 lần
C. Tăng lên 12 lần
D. Tăng lên 16 lần
Câu 5: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài là 12cm và 16cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là:
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm
Câu 6: Cho ΔABC biết AB = 3AC. Tỉ số hai đường cao xuất phát từ các đỉnh B và C là:
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Bài 1: (3 điểm)
a) Cho một hình chữ nhật có diện tích là 144cm2 và tỉ số các cạnh là 4/9 . Tính độ dài các cạnh hình chữ nhật đó.
b) Tính số cạnh của một đa giác biết tổng số đo các góc trong của nó bằng 900o.
Bài 2: (3 điểm) Cho hình bình hành có diện tích 48cm2. Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh của nó bằng 3cm và 4 cm. Tính chu vi của hình bình hành đó.
Bài 3: (1 điểm) Tính diện tích một tam giác vuông cân có độ dài cạnh huyền là √2 cm.
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: B | Câu 2: A | Câu 3: C |
| Câu 4: D | Câu 5: B | Câu 6: A |
Bài 1: (3 điểm)
a) Gọi số đo cạnh của hình chữ nhật là x; y (cm). Giả sử x < y.
Ta có:
Suy ra x.y = 4k.9k + 36k2 mà xy = 144cm2 nên:
36k2 = 144 => k2 = 4 => k = 2 (vì k > 0)
Thay k = 2 vào (*) ta được x = 8cm và y = 18cm.
b) Gọi n là số cạnh của đa giác, ta có:
(n - 2).180o = 900o => n - 2 = 900o : 180o
=> n - 2 = 5 => n = 7
Vậy đa giác có 7 cạnh.
Bài 2: (3 điểm)
Ta có: SABCD = 2.0H.AB = 2.3.AB = 6AB
Mà SABCD = 48cm2
Suy ra 6AB = 48 => AB = 8(cm)
Mặt khác: 2OK.BC = SABCD => 2.4.BC = 48 => BC = 6(cm)
Chu vi hình bình hành ABCD là (8 + 6).2 = 28 (cm)
Bài 3: (1 điểm)
Gọi độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là x (cm)
Ta có: x2 + x2 = (√2)2
=> 2x2 = 2 => x2 = 1 => x = 1(cm)
Diện tích tam giác vuông là: (1.1)/2 = 1/2 (cm2)
Câu 1: Biết tổng các số đo các góc trong của một đa giác bằng 540o. Số cạnh của đa giác là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Câu 2: Trong tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 2cm và 4cm. Diện tích tam giác vuông đó là:
A. 8cm2 B. 3cm2 C. 4cm2 D. 12cm2
Câu 3: Diện tích hình vuông thay đổi như thế nào nếu mỗi cạnh đều tăng lên 5% của chúng?
A. Tăng lên 10 lần
B. Tăng lên lần
C. Tăng lên 20 lần
D. Tăng lên 2,5 lần
Câu 4: Cho hình chữ nhật có diện tích 12cm2 và chu vi của nó bằng 14cm. Độ dài các cạnh của hình chữ nhật là:
A. 6cm và 2cm
B. 4cm và 3cm
C. 12cm và 1cm
D. 8cm và 1,5cm
Câu 5: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài là 12cm và 16cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là:
A. 9,6cm B. 8,6cm C. 14cm D. 12cm
Câu 6: Một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi. Khi đó:
A. Shình thoi = Shình vuông
B. Shình thoi < Shình vuông
C. Shình thoi > Shình vuông
Bài 1: (3 điểm)
a) Cho lục giác đều MNPQRS. Tính số đo mỗi góc của lục giác đều?
b) Tính độ dài các cạn của một hình chữ nhật, biết rằng bình phương độ dài một cạnh là 16cm2 và diện tích của hình chữ nhật là 28cm2.
Bài 2: (3 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi P là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua P song song với cạnh AD cắt đường thẳng AB và CD lần lượt tại Q và R. Biết AD = 4cm và khoảng cách từ R đến AD bằng 3cm. Tính:
a) Diện tích hình bình hành AQRD
b) Diện tích hình thang ABCD
Bài 3: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD và điểm O tùy ý thuộc miền trong của hình bình hành. Nối OA, OB, OC, OD. Chứng minh:
SOAB + SACD = SOAD + SOBC
Đáp án và Hướng dẫn giải
| Câu 1: A | Câu 2: C | Câu 3: B |
| Câu 4: B | Câu 5: A | Câu 6: B |
Bài 1: (3 điểm)
a) Đa giác n-cạnh có tổng số đo góc là (n – 2).180o
Tổng số đo các góc của lục giác đều là: (6 - 2).180o = 720o
Số đo mỗi góc của lục giác đều là: 720o : 6 = 120o
b) Gọi x, y là độ dài cạnh của hình chữ nhật (x, y > 0)
Ta có: xo = 6 => x = 4(cm)
Vì diện tích của hình chữ nhật là 28cm2 nên độ dài cạnh y còn lại là:
y = 28 : x = 28 : 4 = 7(cm)
Bài 2: (3 điểm)
a) SAQRD = RK.AD = 3.4 = 12(cm2)
b) Ta có: ΔBPQ = ΔCPR (g.c.g)
Suy ra: sBPQ = SCPR
Suy ra: SABCD = SAQRD = 12(cm2)
Bài 3: (1 điểm)
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H
Do AB // CD nên đường thẳng đó cũng vuông góc với CD tại K
Ta có:
SOAB + SOCD
= (OH.AB + OK.CD)/2
= (1/2).AB.(OH + OK) (do AB = CD)
= (1/2).AB.HK = (1/2).SABCD
Tương tự: SOBC + SOAD = (1/2).SABCD
Vậy SOAB + SOCD = SOBC + SOAD
Bài 1: Phân tích đa thức x2 + 4y2 + 4xy – 16 thành nhân tử.
Bài 2: Thực hiện phép tính:
Bài 3: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì P nguyên.
Bài 4: Chứng minh rằng
Bài 5: Tính chiều cao AH của hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = 7cm, đường trung bình MN = 9cm và diện tích hình thang bằng 45cm2.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ACID là hình thoi.
c) Cho AC = 20cm, BC = 25cm.Tính diện tích ∆ABC
d) Đường thẳng BN cắt cạnh DC tại K. Chứng minh:
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
x2 + 4y2 + 4xy – 16 = (x + 2y)2 -16 = (x + 2y – 4)(x + 2y + 4).
Bài 2:
Điều kiện: x ≠ 0; x ≠ 1/3.
Bài 3:
a) Điều kiện: 4x2 - 4x + 1 ≠ 0 hay (2x – 1)2 ≠ 0 hay 2x – 1 ≠ 0
vậy x ≠ 1/2.
b)Ta có :
Vậy với mọi x ∈ Z => 2x – 1 ∈ Z hay P ∈ Z.
Bài 4:
Điều kiện: x ≠ ±6; x ≠ 0. Biến đổi vế trái (VT), ta được:
Bài 5:
Ta có: MN = (AB+CD)/2 => 2MN = AB + CD
=> CD = 2MN – AB = 2.9 – 7 = 11 (cm)
Bài 6:
a) Ta có AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).
b)∆ABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = BC/2
do đó ∆AIC cân có đường cao IN đồng thời là đường trung tuyến
=> NA = NC.
Lại có: ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành có AC ⊥ ID (gt). Do đó ADCI là hình thoi.
c) Ta có: AB2 = BC2 – AC2 (định lí Py-ta-go)
= 252 – 202 => AB = √225 = 15 (cm)
Vậy SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).15.20 = 150 (cm2)
d) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình của ∆BKC
=> H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)
Xét ∆DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)
Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)
Từ (1) và (2) => DK = KH = HC => DK/DC= 1/3.
Bài 1: Phân tích đa thức x6 – x4 + 2x3 + 2x2 thành nhân tử.
Bài 2: Rút gọn :
Bài 3: Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị biểu thức P với x = 1/2
Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm I của cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB tại N và song song với AC cắt AB tại M.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Dựng E là điểm đối xứng của I qua M, chứng minh NE đi qua trung điểm O của AM.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh DC lấy điểm E, từ A dựng đường thẳng vuông góc với AE tại A, đường này cắt đường thẳng BC tại F.
a) Chứng tỏ AF = AE
b) Từ E dựng đường thẳng song song với đường thẳng AF và từ Fdựng đường thẳng song song với đường thẳng AE, hai đường thẳng này cắt nhau tại G. Chứng tỏ AEGF là hình vuông.
c) Chứng tỏ ba đường thẳng BD, AG, EF đồng quy.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
x6 – x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x4 – x2 + 2x + 2) = x2[x2(x2 – 1) + 2(x +1)]
= x2(x + 1)(x3 – x2 + 2) = x2(x + 1)[(x3 + 1) – (x2 – 1)]
= x2(x + 1)(x + 1)( x2 –x + 1 – x +1) = x2(x + 1)2(x2 – 2x + 2).
Bài 2:
Điều kiện: a ≠ ±4; b ≠ 2.
Bài 3:
Bài 4:
Q ∈ Z khi x ∈ Z và 3/(2x+1) ∈ Z => x ∈ Z và 2x + 1 = ±1; 2x + 1 = ±3
Bài 5:
a) Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
b)E đối xứng với I qua M nên EM =IM.
Lại có IM // AN với IM = AN (cmt) => EM // AN và EM = AN.
Do đó tứ giác ANME là hình bình hành mà O là trung điểm của AM nên đường chéo thứ hai EN phải qua O.
Bài 6:
a)Ta có ∠A1 = ∠A3 (cùng phụ với ∠A2)
xét hai tam giác vuông ABF và ADE có ∠A1 = ∠A3(cmt), AB = AD(gt)
do đó ∆ABF = ∆ADE (g.c.g)
=> AF = AE
b)Ta có EG // AF, AE // FG nên tứ giác AEGF là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau: AF = AE nên là hình vuông.
c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AG và FE của hình vuông AEGF nên O là trung điểm của EF => Tam giác vuông FCE có OC là đường trung tuyến nên OC = EF/2.
Lại có OA = EF/2. Do đó OA = OC. Chứng tỏ O thuộc đường trung trực của đoạn AC hay O thuộc BD. (Hai đường chéo của hình vuông là đường trung trực của nhau).
Vậy BD, AG, EF đồng quy tại O.
Bài 1: Phân tích đa thức a3 + 3a2 + 3a + 1 thành nhân tử.
Bài 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:
Bài 3: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Chứng minh giá trị của P luôn âm với x ≠ ±1
Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.
a) Chứng tỏ tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Chứng tỏ AF vuông góc với DE.
c) Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE, chứng tỏ EF = MN.
d) Tính tỉ số diện tích của ∆BEF và diện tích hình bình hành ABCD.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a3 + 3a2 + 3a + 1 = (a+1)3
Bài 2:
Điều kiện: x ≠ 1; x ≠ 0.
Bài 3:
a) Ta có: x4 -1 = (x2 +1)(x2 -1), trong đó : x2 +1 > 0, với mọi x.
Vậy điều kiện : x2 – 1 ≠ 0 và 1 – x2 ≠ 0 và x2 – 1 ≠ 0.
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) ≠ 0
Bài 4:
Ta có :
= x + 1 – x + 1 + x2 – 1 = x2 + 1 > 0, với mọi x ≠ ±1
Bài 5:
a) Ta có MN là đường trung bình ΔABC
=> MN // AC và MN = AC/2
Tương tự QP // AC và QP = AC/2
Do MNPQ là hình bình hành
Chứng minh tương tự ta có MQ là đường trung bình của ΔADB nên MQ // BD mà BD ⊥ AC (gt) => MQ ⊥ MN
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
b)Hình chữ nhật MNPQ là hình vuông <=> MN = MQ <=> AC = BD
<=> ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Bài 6:
a) Ta có E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD mà AB = CD và AB // CD => AE = CF và AE // CF.
Do đó AECF là hình bình hành
b)Tương tự như chúng minh trên ta có AE // DF và AE = DF nên AEDF là hình bình hành.
Lại có AB = 2AD (gt) mà E là trung điểm AB nên AE = AD.
Do đó AEFD là hình thoi => AF ⊥ DE.
c) Ta có AF // CE (cmt), tương tự ta có EBFD cũng là hình bình hành
=> ED // BF
Do đó tứ giác ENFM là hình bình hành, lại có ∠EMF = 90o (cmt)
Vậy tứ giác ENFM là hình chữ nhật => EF = MN.
d) Ta có các tam giác sau đây bằng nhau: ΔBEF = ΔFCB = ΔAEF = ΔFDA
Bài 1: Thực hiện phép tính:
Bài 2: Phân tích đa thức 3a – 3b – a2 + 2ab – b2 thành nhân tử .
Bài 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức A bằng 0
Bài 4: Tìm m để P = x4 – x3 + 6x2 –x + m chia hết cho Q = 2x2 –x + 5.
Bài 5: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MB. Gọi E là điểm đối xứng của F qua A và N là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng E, N, C thẳng hàng.
b) ∆ABC cần có điều kiện gì để EBCF là hình thang cân.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC.
a) Gọi D là điểm đối cứng của A qua N. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
b) Lấy I là trung điểm của cạnh AC và E là điểm đối xứng của N qua I.
Chứng minh tứ giác ANCE là hình thoi.
c) Đường thẳng BC cắt DM và DI lần lượt tại G và G’. Chứng minh BG = CG’.
d) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính diện tích ∆DGG’.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Điều kiện : x ≠ ±1
b) Điều kiện : x ≠ ±1
Bài 2:
3a – 3b – a2 + 2ab – b2 = 3(a – b) – (a2 – 2ab + b2) = 3(a – b) – (a – b)2
= (a – b)(3 – a + b)
Bài 3:
a) Điều kiện :x ≠ 0; x ≠ ±2.
b)Điều kiện : x ≠ 0; x2 - 4 ≠ 0 => x ≠ 0; x ≠ ±2
A = 0 => x(x – 2) = 0 => x = 0 hoặc x – 2 = 0 => x = 0 hoặc x = 2
(không thỏa mãn các điều kiện x ≠ 0; x ≠ 2)
Vậy không có giá trị của x để A = 0
Bài 4:
P chia hết cho Q khi m – 5 = 0 => m = 5
Bài 5:
a) Ta có MA = MC (gt); MB = MF (gt)
Do đó AFCB là hình bình hành => AF // CB và AF = BC.
Lại có E đối xứng với F qua A ( gt) nên AE = AF
=> AE = BC và AE // BC nên tứ giác ACBE là hình bình hành, mà N là trung điểm của đường chéo AB nên đường chéo thứ hai EC phải qua N. Hay E, N, C thẳng hàng.
b)Ta có AC // AF nên EBCF là hình thang
Hình thang EBCF là hình thang cân <=> ∠BEF = ∠CFE
Mà ∠BEF = ∠ACB, ∠CFE = ∠ABC (do ACBE và AFCB là các hình bình hành)
<=> ∠ABC = ∠ACB <=> ∆ABC cân tại A.
Bài 6:
a) Ta có: NB = NC (gt); ND = NA (gt) nên ABDC là hình bình hành có ∠A = 90o (gt) => ABDC là hình chữ nhật.
b)Chứng minh tương tự ta có AECN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
mặt khác ∆ABC vuông có AN là trung tuyến nên AN = NC = BC/2.
Vậy tứ giác AECN là hình thoi.
c)Dễ thấy G và G’ là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD nên BG = BN/3 và CG’ = CN/3 mà BN = CN => BG = CG’
d) Ta có: SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).6.6 = 24 (cm2)
Lại có: BG = GG’ = CG’ (tính chất trọng tâm)
=> SBGD = SGG’D = SG’CD (=SBCD/3)
(chung đường cao kẻ từ D và đáy bằng nhau)
Mà SBCD = SCBA (vì ∆BCD = ∆CBA (c.c.c))
=> SDGG’ = SCBA/3 = (1/3).24 = 8 (cm2)
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 9 – x2 + 6xy – 9y2
b) x4 – 2x2.
Bài 2: Tìm m để P = x3 + 3x2 + mx + 8 chia hết cho Q = x + 4.
Bài 3: Cho x/y = 10. Tính giá trị của biểu thức
Bài 4: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song song với BC lấy điểm M và N sao cho A là trung điểm của MN (M, B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MB, BC và CN.
Chứng minh tứ giác AHIK là hình thoi.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi D là điểm đối xứng với A qua M và K là trung điểm của MC, E là điểm đối xứng của D qua K.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi.
b) Chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật.
c) AM và BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BE.
d) Chứng minh rằng AK, CI, EM đồng quy.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) 9 – x2 + 6xy – 9y2 = 9 - (x2 - 6xy + 9y2) = 9 – (x -3y)2
= (3 – x + 3y)(3 + x – 3y)
b) x4 – 2x2 = x2(x2 – 2) = x2[x2 – (√2)2] = x2(x + √2)(x - √2)
Bài 2:
P chia hết cho Q khi và chỉ khi -4m – 8 = 0 <=> m = -2.
Bài 3:
Bài 4:
a) Điều kiện: x + 2 ≠ 0 và x - 2 ≠ 0 hay x ≠ ±2
(Khi đó x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) ≠ 0).
Bài 5:
Ta có : MN // BC (gt)
=> ∠MAB = ∠ABC (so le trong)
Tương tự : ∠NAC = ∠ACB
Mà ∠ABC = ∠ACB (gt)
Do đó ∠MAB = ∠NAC
Dễ thấy ΔMAB = ΔNAC(c.g.c)
=> ∠BMA = ∠CNA
Vậy MNCB là hình thang cân.
Nối B với N, C với M ta có HA và KI lần lượt là các đường trung bình của ΔMBN và ΔNCB nên HA // BN và HA = BN/2. Do đó HA // IK và HA = IK nên AHIK là hình bình hành.
Chứng minh tương tự AK // MC và AK = MC/2 mà BN = MC (tính chất hai đường chéo của hình thang cân) => HA = KA.
Bài 6:
a) Ta có MB = MC (gt),
MD = MA (tính chất đối xứng)
nên ABDC là hình bình hành.
Lại có AB = AC (gt)
=> tứ giác ABDC là hình thoi.
b)E đối xứng với D qua K nên K là trung điểm của AD nên MK là đường trung bình của ∆AED.
=> MK // AE và MK = AE/2 .
Lại có K là trung điểm của MC (gt) => MC // AE và MC = AE.
Do đó tứ giác AMCE là hình bình hành.
∆ ABC cân có trung tuyến AM nên AM đồng thời là đường cao hay AM ⊥ C
=> ∠AMC = 90o
Vậy AMCE là hình chữ nhật.
c)Ta có AE // MC và AE = MC (cmt)
=> AE // MB và AE = MB
Nên tứ giác AEMB là hình bình hành và I là giao điểm hai đường chéo nên I là trung điểm của BE.
d) Ta có AMCE là hình chữ nhật (cmt) nên ME đi qua trung điểm cảu AC. Lại có I , K theo thứ tự là trung điểm của AM (cmt) và MC (gt).
Do đó AK , CI, EM là ba đường trung tuyến của ∆AMC nên chúng đồng quy.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 + xy –x – y
b) a2 – b2 + 8a + 16
Bài 2: Tìm x, biết:
a) 4(x +1) + (3 – 2x)(3 + 3x) = 15
b) 3x(x – 20012) – x + 20012 = 0
Bài 3: Thực hiện phép tính:
Bài 4: Tính tổng x4 + y4 biết x2 + y2 = 18 và xy = 5.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . M là trung điểm cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AC và tứ giác CMDH là hình bình hành.
c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh tứ giác MHDE là hình thang cân
d) Qua A vẽ đường thẳng song song với DH cắt DE tại K. Chứng minh HK vuông góc với AC.
Đáp án và Hướng dẫn giải
Bài 1:
a) x2 + xy –x – y = x(x + y) – (x + y) = (x + y)(x -1 ).
b) a2 – b2 + 8a + 16 = (a2 + 8a + 16) – b2 = (a + 4)2 – b2
= (a + 4 – b)(a + 4 + b).
Bài 2:
a) 4x(x + 1) (3 – 2x)(3 + 2x) = 15 => 4x2 + 4x (9 – 4x2) = 15
=> 4x2 + 4x + 9 – 4x2 = 15 => 4x = 15 – 9 => 4x = 6 => x = 3/2
b)3x(x – 20012) – x + 20012 = 0 => 3x(x – 20012) – (x – 20012) = 0
=> (x – 20012)(3x – 1) = 0 => x – 20012 = 0 hay 3x – 1 = 0
=> x = 20012 hoặc x = 1/2
Bài 3:
a) Điều kiện : x, y ≠ 0; x ≠ y.
b)Điều kiện : x ≠ ± 1.
Bài 4:
Ta có x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = 182 – 2.52= 274
Bài 5:
a) Ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b)Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)
M là trung điểm của BC (gt)
=> E là trung điểm của AC.
Ta có E là trung điểm của AC (cmt)
Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB
Do đó DE là đường trung trực của ΔABC
=> DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC
=> Tứ giác CMDE là hình bình hành.
c) Ta có DE // HM (cmt) => MHDE là hình thang (1)
Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)
DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) => HE = DM (2)
Từ (1) và (2) => MHDE là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) => I là trung điểm của AH
Xét ΔDIH và ΔKIA có IH = IA, ∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh), ∠H1 = ∠A1(so le trong)
ΔDIH = ΔKIA (g.c.g) => ID = IK
Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) => DHK là hình bình hành
=> HK // DA mà DA ⊥ AC => HK ⊥ AC
| Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
| Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
| Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
| Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
| LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
| Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
| Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
| Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
| Vui | Buồn | Bình thường |
Học ngoại ngữ với Flashcard
Trợ lý ảo
Gia sư
Học gia sư
Xem thêm 
Thưởng th.10.2024
Bảng xếp hạng
