Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x³+3x²-1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x³+3x²-1=m

Lời giải:

a) y=-x³+3x²-1. Tập xác định D = R

y'=-3x^2+6x

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)

y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1

y''=-6x+6;y''=0 => x = 1

- Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)

- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) -x³+3x²-1=m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x³+3x²-1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận: