22) 
1/sinx + 1/sin(x - 3π/2) = 4sin(7π/4 - x) 
ta có: sin(x - 3π/2) = -sin[π - (x - π/2)] = -sin(x - π/2) = sin(π/2 - x) = cosx 

đk: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0 --> sin2x ≠ 0 --> x ≠ kπ/2 (k ∈ Z) (*) 

pt ⇔ 1/sinx + 1/cosx = 4sin[2π - (π/4 + x)] 
⇔ (sinx + cosx)/sinx.cosx = -4sin(x + π/4) 
⇔ (sinx + cosx)/sinx.cosx = -4.[ sinx.cos(π/4) + cosx.sin(π/4) ] 
⇔ (sinx + cosx)/sinx.cosx = -2√2.(sinx + cosx) 
⇔ (sinx + cosx).(1/sinx.cosx + 2√2) = 0 
⇔ [ sinx + cosx = 0 
. . .[ 1/sinx.cosx = -2√2 

+) sinx + cosx = 0 --> sinx = -cosx --> tanx = -1 
--> x = -π/4 + mπ (m ∈ Z): t/m đk (*) 

+) 1/sinx.cosx = -2√2 --> 2sinx.cosx = -1/√2 --> sin2x = sin(-π/4) 
--> [ 2x = -π/4 + n2π (n ∈ Z) 
. . .[ 2x = 5π/4 + p2π (p ∈ Z) 

--> [ x = -π/8 + nπ (n ∈ Z) 
. . .[ x = 5π/8 + pπ (p ∈ Z) : 2 nghiệm này đều t/m đk (*) 

Vậy pt đã cho có 3 họ nghiệm là ... 

23)
Biến đổi: 
1 + tanx.tanx/2 = 1 + sinx.sin(x/2) / cosx.cos(x/2) = (sinx.sin(x/2) + cosx.cos(x/2)) / cosx.cos(x/2) = cos(x-x/2)/ cosx.cos(x/2) = 1/cosx 

Phương trình đã cho trở thành: 
cosx / sinx + sinx/cosx = 4 
<-> (cos²x + sin²x)/ (sinxcosx) = 4 
<-> 4sinxcox = 1 
<-> sin2x = 1/2 
<-> 2x = π/6 + k2π hoặc 2x = 5π/6 + k2π 
<-> x = π/12 + kπ hoặc x = 5π/12 + kπ