Để chứng minh rằng \( MN \parallel CD \) trong hình chóp \( S.ABCD \), chúng ta sẽ xác định vị trí của các điểm \( M \), \( N \), và \( I \).

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử:
- Đặt tọa độ của các điểm:
\[
A = (0, 0, 0), \quad B = (a, 0, 0), \quad C = (b, c, 0), \quad D = (a + b, c, 0)
\]
- Kích thước và vị trí của \( AB \) và \( CD \) sao cho chúng tạo thành hình bình hành với tâm \( O \).

Giả sử rằng:
- Tọa độ của \( S \) là \( S = (x_S, y_S, h) \).
- Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( CD \):
\[
I = \left( \frac{b + (a + b)}{2}, \frac{c + c}{2}, 0 \right) = \left( a + b/2, c, 0 \right)
\]

### Bước 2: Xác định tọa độ điểm \( M \)

Điểm \( M \) được lấy trên đoạn \( SA \) sao cho \( MA = 2MS \).

Gọi \( MS = k \), thì:
\[
MA = 2k \implies SA = k + 2k = 3k.
\]
Tọa độ của \( M \) được tính như sau:
\[
M = A + \frac{1}{3}(S - A) = (0, 0, 0) + \frac{1}{3}((x_S, y_S, h) - (0, 0, 0)) = \left( \frac{x_S}{3}, \frac{y_S}{3}, \frac{h}{3} \right).
\]

### Bước 3: Xác định tọa độ điểm \( N \)

Tương tự với điểm \( N \) trên đoạn \( SB \) sao cho \( NB = 2SN \).
Gọi \( SN = m \). Vậy:
\[
NB = 2m \implies SB = m + 2m = 3m.
\]
Tọa độ của \( N \) được tính:
\[
N = B + \frac{1}{3}(S - B) = (a, 0, 0) + \frac{1}{3}((x_S, y_S, h) - (a, 0, 0)) = \left( a + \frac{x_S - a}{3}, \frac{y_S}{3}, \frac{h}{3} \right).
\]

### Bước 4: Xác định vector

Bây giờ chúng ta tính vector \( \overrightarrow{MN} \) và vector \( \overrightarrow{CD} \):
- Vector \( \overrightarrow{MN} \):
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left( a + \frac{x_S - a}{3} - \frac{x_S}{3}, \frac{y_S}{3} - \frac{y_S}{3}, \frac{h}{3} - \frac{h}{3} \right) = \left( a - \frac{2x_S}{3} + \frac{x_S}{3}, 0, 0 \right) = \left( a - \frac{x_S}{3}, 0, 0 \right).
\]

- Vector \( \overrightarrow{CD} \):
\[
C = (b, c, 0), \quad D = (a + b, c, 0) \implies \overrightarrow{CD} = D - C = (a + b - b, c - c, 0) = (a, 0, 0).
\]

### Bước 5: So sánh hướng của hai vector

Ta thấy rằng vector \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{CD} \) có cùng phương:
\[
\overrightarrow{MN} = k \overrightarrow{CD} \quad \text{(với } k = \frac{a - \frac{x_S}{3}}{a} \text{)}.
\]
Điều này cho thấy \( MN \parallel CD \).

### Kết luận

Từ những lập luận và tính toán trên, ta đã chứng minh rằng \( MN \parallel CD \).