B13

Bài 6
a, A = 5x - x^2
       = -(x^2 - 5x + 25/4) + 25/4
       = -(x-5/2)^2 + 25/4 ≤ 25/4
Dấu "=" xảy ra <=> x-5/2 = 0
                      <=> x = 5/2
Vậy Max A = 25/4 <=> x = 5/2
b, B = x - x^2
       = -(x^2 - x + 1/4) + 1/4
       = -(x-1/2)^2 + 1/4 ≤ 1/4
Dấu "=" xảy ra <=> x-1/2 = 0
                      <=> x = 1/2
Vậy Max B = 1/4 <=> x = 1/2

B14

B15

bài 18
A = 2(x^3 - y^3) - 3(x+y)^2
Với x = y = 2 ta có:
A = 2(2^3 - 2^3) - 3(2+2)^2
   = 2.0 - 3.4^2
   = 0 - 3.16
   = -48
Vậy với x = y = 2 thì A = -48

B16:
b:
ta có a+b+c=0=>(a+b+c)^2=0
=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0
=>1+2(ab+bc+ac)=0(vì a^2+b^2+c^2=1)
=>ab+bc+cd=-1/2
=>(ab+bc+cd)^2=1/4
=>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=1/4
=>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=1/4
=>a^2b^2 +a^2c^2+b^2c^2=1/4(vì a+b+c=0)*
mặt khác a^2+b^2+c^2=1(gt)
=>(a^2+b^2+c^2)^2=1
=>a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=1
=>a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=1
=>a^4+b^4+c^4+2.1/4=1(theo *)
=>a^4+b^4+c^4=1- 1/2=1/2(dpcm)

B16a

10. Rút gọn biểu thức:
a) A = (a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a - 1)(a^2 + 1)(a - 2)
A = [(a - 1)(a + 1)][(a + 2)(a - 2)](a^2 + 1)(a^2 + 4)
A = (a^2 - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 1)(a^2 + 4)
A = (a^4 - 1)(a^2 - 16)

Bài 17
e, Có a^3 + b^3 + c^3
= a^3 + 3a^2.b + 3ab^2 + b^3 + c^3 - 3a^2.b - 3ab^2
= (a+b)^3 + c^3 - 3a^2.b - 3ab^2 - 3abc + 3abc
= (a+b+c)[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2] - 3ab(a+b+c) + 3abc
= (a+b+c)[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2 - 3ab] + 3abc
mà a+b+c = 0
=> 0[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2 - 3ab] + 3abc
= 3abc
Vậy chứng tỏ với a+b+c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Bài 6
c, C = 4x - x^2 + 3
       = -(x^2 - 4x + 4) + 7
       = -(x-2)^2 + 7 ≤ 7
Dấu "=" xảy ra <=> x-2 = 0
                      <=> x = 2
Vậy Max C = 7 <=> x = 2
d, D = -x^2 + 6x - 11
       = -(x^2 - 6x + 9) - 2
       = -(x-3)^2 - 2 ≤ -2
Dấu "=" xảy ra <=> x-3 = 0
                      <=> x = 3
Vậy Max D = -2 <=> x = 3

Bài 6:
a) Ta có : A = 5.x - x²
= - (x² - 5.x)
= - (x² - 2.x.(5/2) + (5/2)² - (5/2)²)
C = - (x - 5/2)² + 25/4
Do - (x - 5/2)² ≤ 0 ∀x
⇔ - (x - 5/2)² + 25/4 ≤ 25/4
⇔ Max A = 25/4 ⇔ x = 5/2

b) B = x - x^2
       = -(x^2 - x + 1/4) + 1/4
       = -(x-1/2)^2 + 1/4 
Do -(x-1/2)^2 ≤ 0 ∀x
⇔ -(x-1/2)^2 + 1/4  ≤ 1/4
Max B = 1/4 ⇔ x = 1/2

Bài 6.
c) C = 4x - x^2 + 3
= -(x^2 - 4x - 3)
= -(x^2 - 2x2 + 4 - 7)
= -(x - 2)^2 + 7 ≤ 7 
=> maxC = 7. Dấu "=" xảy ra khi x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy maxC = 7 khi x = 2
d) D = -x^2 + 6x - 11
= -(x^2 - 6x + 11)
= -(x^2 - 2x.3 + 9 + 2)
= -(x - 3)^2 - 2 ≤ -2
=> maxD = - 2. Dấu "=" xảy ra khi x - 3= 0 <=> x = 3
Vậy maxD = - 2 khi x = 3

Bài 6.
e) E = 5 - 8x - x^2
= -(x^2 + 8x - 5)
= -(x^2 + 2x4 + 16 - 21)
= -(x + 4)^2 + 21 ≤ 21
=> maxE = 21. Dấu "=" xảy ra khi x + 4 = 0 <=> x = -4
Vậy maxE = 21 khi x = -4
f) F = 4x - x^2 + 1
= -(x^2 - 4x - 1)
= -(x^2 - 2x2 + 4 - 5)
= -(x - 2)^2 + 5 ≤ 5
=> maxF = 5 Dấu "=" xảy ra khi x - 2 =0 <=> x = 2
Vậy maxF = 5 khi x = 2

Bài 17
a, Gọi A = (ab+bc+ca)^2
            = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 + 2acb^2 + 2abc^2 + 2bca^2
            = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 + 2abc(a+b+c)
mà a+b+c = 0
=> A = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 + 2abc.0
=> A = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 + 0
=> A = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2
Vậy chứng tỏ với a+b+c = 0 thì (ab+bc+ca)^2 = a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2

Bài 14.

Bài 17b)

cách khác
Bài 17
c) Có : a + b + c = 0
=> ( a + b + c )^2 = 0
=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 0
=> a^2 + b^2 + c^2 = - 2.( ab + ac + bc )
=> ( a^2 + b^2 + c^2 )^2 = [ - 2.( ab + ac + bc ) ]^2
=> a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 = 4.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 )
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 ) + 8abc.( a + b + c )
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 ) + 8abc.0
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 )
d)
Có : a + b + c = 0
=> ( a + b + c )^2 = 0
=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = 0
=> a^2 + b^2 + c^2 = - 2.( ab + ac + bc )
=> ( a^2 + b^2 + c^2 )^2 = [ - 2.( ab + ac + bc ) ]^2
=> a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 = 4.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 )
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 ) + 8abc.( a + b + c )
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 ) + 8abc.0
=> a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 )
Có : ( a^2 + b^2 + c^2 )^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 )
Mà a^4 + b^4 + c^4 = 2.( a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 )
=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2
=> a^4 + b^4 + c^4 = [(a^2 + b^2 + c^2)^2 ]/2

Bài 7
a, A = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 8
       = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + 3
       = (x-1)^2 + (y+2)^2 + 3  ≥ 3
Dấu "=" xảy ra <=> x-1 = 0
                             y+2 = 0
                      <=> x = 1
                             y = -2
Vậy Min A = 3 <=> x= 1 và y = -2

b, B = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 6
       = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 - 14
       = (x-2)^2 + (y-4)^2 - 14  ≥ -14
Dấu "=" xảy ra <=> x-2 = 0
                             y-4 = 0
                      <=> x = 2
                             y = 4
Vậy Min B = -14 <=> x = 2 và y = 4

Bài 18
A = 2(x^3 - y^3) - 3(x+y)^2
   = 2(x-y)(x^2 + xy + y^2) - 3(x^2 + 2xy + y^2)
mà x-y = 2
=> A = 2.2.(x^2 + xy + y^2) - 3x^2 - 6xy - 3y^2
        = 4x^2 + 4xy + 4y^2 - 3x^2 - 6xy - 3y^2
        = x^2 - 2xy + y^2
        = (x-y)^2
        = 2^2
        = 4
Vậy A = 4

Bài 7
m, M = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2019 
        = (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) + 2019
        = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + 2019
Đặt x^2 + 5x + 5 = y
=> M = (y-1)(y+1) + 2019
         = y^2 - 1 + 2019
         = y^2 + 2018
         = (x^2 + 5x + 5)^2 + 2018 ≥ 2018
Vậy Min M = 2018