Cau 2

Cau 3
Giả sử p = 2 => 2 + 1994= 1996 là hợp số => loại
Vậy còn hai trường hợp = 3 và p>3
+) p = 3 =>p+ 1994= 1997 là số nguyên tố => chọn
+) p > 3 lại có 2 trường hợp
- p = 3k + 1 => p + 1994 là hợp số
- p = 3k + 2 thì chỉ có k = 1 => p = 5 => p+ 1994 là hợp số
còn k = 2;3;4 .. thì p + 1994 là hợp số
vậy số nguyên tố cần tìm p = 3 hoặc p = 5

4. ​Tim cac so tu nhien p sao cho:
1) p, p + 2, p + 4 la cac so nguyen to
Giải:
Do p+ 2 và p+4 kaf số nguyên tố >2
=> 2 số này đều là số lẻ
+) với p = 3 thì p+2 = 5; p+ 4 = 7 đều là số nguyên tố => chọn
=+) với p>3 nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+ 2 ( k thuộc N*)
nếu p = 3kk+1 thì p+2 = 2k+3 = 3( k+1) choa hết cho 3 nên là hợp số => loại
nếu p = 3k+2 thì p+ 4 = 3k + 6 = 3( k+2) chia hết hco 3 nên là hợp số => loại
Vậy số cần tìm là p = 3

4. ​Tim cac so tu nhien p sao cho:
2) p, p + 2, p + 10 la cac so nguyen to
Giải:
Do p+ 2 và p+10 kaf số nguyên tố >2
=> 2 số này đều là số lẻ
+) với p = 3 thì p+2 = 5; p+ 10 = 13 đều là số nguyên tố => chọn
=+) với p>3 nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+ 2 ( k thuộc N*)
nếu p = 3kk+1 thì p+2 = 2k+3 = 3( k+1) choa hết cho 3 nên là hợp số => loại
nếu p = 3k+2 thì p+ 10 = 3k + 12 = 3( k+4) chia hết cho 3 nên là hợp số => loại
Vậy số cần tìm là p = 3

4. ​Tim cac so tu nhien p sao cho:
3) p, p + 10, p + 20 la cac so nguyen to
Giải:
Do p+ 10 và p+ 20 là số nguyên tố >2
=> 2 số này đều là số lẻ
+) với p = 3 thì p+10 = 13; p+ 20 = 23 đều là số nguyên tố => chọn
=+) với p>3 nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+ 2 ( k thuộc N*)
nếu p = 3k+1 thì p+20 = 3k+21 = 3( k+7) choa hết cho 3 nên là hợp số => loại
nếu p = 3k+2 thì p+ 10 = 3k + 12 = 3( k+4) chia hết cho 3 nên là hợp số => loại
Vậy số cần tìm là p = 3

4. ​Tim cac so tu nhien p sao cho:
4) p, p + 2, p + 6, p + 8, p+ 12, p + 14 la cac so nguyen to
Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng : 5k ; 5k+1 ; 5k+2 ; 5k+3 ; 5k+4
giả sử;

• p = 5k+1 => o + 14 = 5p+ 15 = 5( p+3) chioa hết cho 5 ( loại)
• p = 5k+ 2 => p + 8 = 5p + 10 = 5( p+ 2) chia hết cho 5 ( loại)
• p = 5k+3 => p+ 12 = 5p + 15 = 5( p+3) chia hết hco 5 ( loại
• p = 5k+4 => p+ 6 = 5p+ 10 => 5( p+2) chia hết cho 5 (loại)

Vậy p chỉ còn là 5k
mà p lại là số nguyên tố
=> k = 1 => p = 5
( thử lại thấy thỏa mãn)
=> p =5

5) p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 la cac so nguyen to
giả sử;

• p = 5k+1 => p + 14 = 5p+ 15 = 5( p+3) chioa hết cho 5 ( loại)
• p = 5k+ 2 => p + 8 = 5p + 10 = 5( p+ 2) chia hết cho 5 ( loại)
• p = 5k+3 => p+ 2 = 5p + 5 = 5( p+ 1) chia hết cho 5 ( loại)
• p = 5k+4 => p+ 6 = 5p+ 10 => 5( p+2) chia hết cho 5 (loại)

Vậy p chỉ còn là 5k
mà p lại là số nguyên tố
=> k = 1 => p = 5
( thử lại thấy thỏa mãn)
=> p =5

6) p + 1, p + 3, p + 7, p + 9, p + 13, p + 15 la cac so nguyen to
+) Nếu p=0 thì p+9=0+9=9 là hợp số => p=0 không thỏa mãn
+) Nếu p=1 thì p+3=1+3=4 là hợp số => p=1 không thỏa mãn
+) Nếu p=2 thì p+7=2+7=9 là hợp số => p=2 không thỏa mãn
+) Nếu p=3 thì p+1=3+1=4 là hợp số => p=3 không thỏa mãn
+) Nếu p=4 thì:
p+1=1+1=2 là số nguyên tố
p+3=4+3=7 là số nguyên tố
p+7=4+7=11 là số nguyên tố
p+9=4+9=13 là số nguyên tố
p+13=4+13=17 là số nguyên tố
p+15=4+15=19 là số nguyên tố
=> p=4 thỏa mãn các số p + 1, p + 3, p + 7, p + 9, p + 13, p + 15 đều là các số nguyên tố
+) Nếu p ≥ 5
p≥5 thì ta có: p ⋮ 5 ⇒p+15 là hợp số
p chia 5 dư 1 ⇒ p + 9 ⋮ 5 ⇒> p+9 là hợp số
p chia 5 dư 2 ⇒ p + 3 ⋮ 5 ⇒ p+3 là hợp số
p chia 5 dư 3 ⇒ p + 7 ⋮ 5 ⇒ p+7 là hợp số
p chia 5 dư 4 ⇒ p + 1 ⋮ 5 ⇒p+1 là hợp số
==> p ≥ 5 không thỏa mãn
Vậy p=4

7) Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 là số nguyên tố?
giải
do p là số nguyên tố =>p>=2
xét p=2 => p+10 =12 (không là số nguyên tố)
xét p=3 => p+10 =13 (là số nguyên tố ) ,p+14 =17 (là số nguyên tố)
=> p=3 thỏa mãn đề bài
xét p là số nguyên tố >3 => p không chia hết cho 3 . nếu p chia 3 dư 1
=> p+14 chia hết cho 3 mà p+14 >3 => p+14 không là số nguyên tố => vô lý
nếu p chia 3 dư 2=> p+10 chia hết cho 3 mà p+10 >3 => p+10 không là số nguyên tố
vậy với p là số nguyên tố >3 thì p không thỏa mãn đề bài
p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài

8) p, p+ 4, p + 14 la cac so nguyen to
Giải:
Do p+ 4 và p+ 14 là số nguyên tố >2
=> 2 số này đều là số lẻ
+) với p = 3 thì p+4 = 7; p+ 14 = 17 đều là số nguyên tố => chọn
=+) với p>3 nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+ 2 ( k thuộc N*)
nếu p = 3k+1 thì p+14 = 3k+15 = 3( k+5) choa hết cho 3 nên là hợp số => loại
nếu p = 3k+2 thì p+ 4 = 3k + 6= 3( k+2) chia hết cho 3 nên là hợp số => loại
Vậy số cần tìm là p = 3

Câu 3:
Giả sử p = 2 => 2 + 1994= 1996 là hợp số => loại
Vậy còn hai trường hợp = 3 và p>3
+) p = 3 =>p+ 1994= 1997 là số nguyên tố => chọn
+) p > 3 lại có 2 trường hợp
- p = 3k + 1 => p + 1994 là hợp số
- p = 3k + 2 thì chỉ có k = 1 => p = 5 => p+ 1994 là hợp số
còn k = 2;3;4 .. thì p + 1994 là hợp số
vậy số nguyên tố cần tìm p = 3 hoặc p = 5
4. 1) p, p + 2, p + 4 la cac so nguyen to
Giải:
Do p+ 2 và p+4 kaf số nguyên tố >2
=> 2 số này đều là số lẻ
+) với p = 3 thì p+2 = 5; p+ 4 = 7 đều là số nguyên tố => chọn
=+) với p>3 nên p = 3k+1 hoặc p = 3k+ 2 ( k thuộc N*)
nếu p = 3kk+1 thì p+2 = 2k+3 = 3( k+1) choa hết cho 3 nên là hợp số => loại
nếu p = 3k+2 thì p+ 4 = 3k + 6 = 3( k+2) chia hết hco 3 nên là hợp số => loại
Vậy số cần tìm là p = 3

1.
Gọi p là số nguyên tố cần tìm
Do p bằng tổng của 2 số nguyên tố nên p > 2
=> p lẻ
=> p = p' + 2 = p" - 2, với p' và p" là 2 số nguyên tố lớn hơn 2
=> p - 2; p và p + 2 là 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp
Hiển nhiên rằng, trong 3 số p - 2; p và p + 2 phải có 1 số chia hết cho 3.
=> Có 1 số bằng 3
=> p - 2 = 3 => p = 5
Thử lại p = 5 = 3 + 2 = 7 - 2, TM
Vậy 5 là số nguyên tố cần tìm

2.
Gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a và b ( a > b > 1)
(+) Xét b > 1 => a > b > 2
Hiển nhiên khi đó, tích ab không là số nguyên tố, loại
=> b = 1
Nếu a = 1 thì a.b = 1.1 = 1, không là số nguyên tố, loại
=> a > 1 hay a > 2
Do vậy, tổng a + b > 2
Mà tổng a + b lại là một số nguyên tố => a + b lẻ
=> a chẵn
Bên cạnh đó, a.b = a là môt số nguyên tố
=> a = 2
Vậy 2 số cần tìm là 1 và 2

5.
Ta có
p^2 - 2q^2 = 1
<=> p^2 = 1 + 2q^2 (*)
(+) Xét q = 2, thay vào (*) ta được p^2 = 1 + 2.2^2 <=> p^2 = 9 <=> p = 3
=> (p , q) = (3 ; 2)
(+) Xét q = 3, thay vào (*) ta được p^2 = 1 + 2.3^2 <=>p^2 = 19, Loại
(+) Xét q > 3 => q ≡ ±1 ( mod 3) => q^2 ≡ 1 (mod 3)
=> 2q^2 + 1 ≡ 2.1 + 1 = 3 ≡ 0 (mod 3)
=> p^2 ≡ 0 (mod 3)
Do đó, p ≡ 0 (mod 3). Mà p là số nguyên tố => p = 3 => q = 2 < 3, Loại
Vậy (p , q) = (3 ; 2)

3.
Đặt p^2 + 1994 = q => q là 1 số nguyên tố
(+) Xét p = 2 => q = 2^2 + 1994 = 1998, không là số nguyên tố, loại
(+) Xét p = 3 => q = 3^2 + 1994 = 2003, TM
(+) Xét p > 3
=> p ≡ ±1 ( mod 3) => p^2 ≡ 1 (mod 3)
Do đó, q = p^2 + 1994 ≡ 1 + 1994 = 1995 ≡ 0 (mod 3)
Mà q là số nguyên tố => q = 3, vô lí
Vậy giá trị p cần tìm là p = 3
(Bài của Lê Thị Thảo Nguyên hiểu sai đề. Nếu hiểu đề như vậy thì tìm hết được p đâu nhé)

Câu 4.
1. p, p + 2, p + 4 là các số nguyên tố => p + 4 > p + 2 > 3
(+) Xét p =2 => p + 2 = 4, không là số nguyên tố, Loại
(+) Xét p = 3 => p + 2 = 5 và p + 4 = 7, TM
(+) Xét p > 3
(-) p ≡ 1 ( mod 3 ) => p + 2 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 2 là số nguyên tố => p + 2 = 3, Loại
(-) p ≡ -1 ( mod 3 ) => p + 4 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 4 là số nguyên tố => p + 4 = 3, Loại
Vậy p = 3
2. p, p + 2, p + 10 là các số nguyên tố => p + 10 > p + 2 > 3
(+) Xét p = 2 => p + 2 = 4, không là số nguyên tố, Loại
(+) Xét p = 3 => p + 2 = 5 và p + 10 = 13, TM
(+) Xét p > 3
(-) p ≡ 1 ( mod 3 ) => p + 2 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 2 là số nguyên tố => p + 2 = 3, Loại
(-) p ≡ -1 ( mod 3 ) => p + 10 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 10 là số nguyên tố => p + 10 = 3, Loại
Vậy p = 3

3. p, p + 10, p + 20 là các số nguyên tố => p + 20 > p + 10 > 3
(+) Xét p = 2 => p + 10 = 12, không là số nguyên tố, Loại
(+) Xét p = 3 => p + 10 = 13 và p + 20 = 23, TM
(+) Xét p > 3
(-) p ≡ 1 ( mod 3 ) => p + 20 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 20 là số nguyên tố => p + 20 = 3, Loại
(-) p ≡ -1 ( mod 3 ) => p + 10 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 10 là số nguyên tố => p + 10 = 3, Loại
Vậy p = 3
4. p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 => p + 14 > p + 12 > p + 8 > p + 6 > 5
(+) Xét p = 2 => p + 2 = 4, không là số nguyên tố, Loại
(+) Xét p = 3 => p + 6 = 9, không là số nguyên tố, Loại
(+) Xét p = 5 => p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 12 = 17, p + 14 = 19 , TM
(+) Xét p > 5
(-) p ≡ 1 (mod5) => p + 14 ≡ 0 ( mod 5 ) => p + 14 = 5, Loại
(-) p ≡ 2 (mod 5) => p + 8 ≡ 0 ( mod 5 ) => p + 8 = 5, Loại
(-) p ≡ -1 (mod 5) => p + 6 ≡ 0 (mod 5) => p + 6 = 5, Loại
(-) p ≡ - 2 (mod 5) => p + 12 ≡ 0 (mod 5) => p + 12 = 5, Loại
Vậy p = 5

5. p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 là các số nguyên tố => p + 14 > p + 8 > p + 6 > 5
  (+) Xét p = 2 => p + 2 = 4, không là số nguyên tố, Loại
  (+) Xét p = 3 => p + 6 = 9, không là số nguyên tố, Loại
  (+) Xét p = 5 => p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13, p + 14 = 19 , TM
  (+) Xét p > 5 => p + 2 > 5
      (-) p ≡ 1 (mod5) => p + 14 ≡ 0 ( mod 5 ) => p + 14 = 5, Loại
      (-) p ≡ 2 (mod 5) => p + 8 ≡ 0 ( mod 5 ) => p + 8 = 5, Loại
      (-) p ≡ -1 (mod 5) => p + 6 ≡ 0 (mod 5) => p + 6 = 5, Loại
      (-) p ≡ - 2 (mod 5) => p + 2 ≡ 0 (mod 5) => p + 2 = 5, Loại
  Vậy p = 5
 6. p + 1, p + 3, p + 7, p + 9, p + 13, p + 15 là các số nguyên tố 
  (+) Xét p + 1 = 2 <=> p = 1 => p + 3 = 4, không là số nguyên tố, loại
  (+) Xét p + 1 = 3 <=> p = 2 => p + 7 = 9, không là số nguyên tố, loại
  (+) Xét p + 1 = 5 <=> p = 4 => p + 3 = 7, p + 7 = 11, p + 9 = 13, p + 13 = 17, p + 15 = 19, TM
  (+) Xét p + 1 > 5 => p + 1 không chia hết cho 5
      (-) p ≡ 1 (mod 5) => p + 9 ≡ 0 (mod 5) => p + 9 = 5, loại
      (-) p ≡ 2 (mod 5) => p + 13 ≡ (mod 5) => p + 13 = 5, loại
      (-) p ≡ -2 (mod 5) => p + 7 ≡ 0 (mod 5) => p + 7 = 5, loại
      (-) p ≡ -1 (mod 5) => p + 1 ≡ 0 (mod 5), loại
      (-) p ≡ 0 (mod 5) => p + 15 ≡ 0 (mod 5) => p + 15 = 5, loại
  Vậy p = 4

7. p, p + 10, p + 14 là các số nguyên tố => p + 14 > p + 10 > 3
  (+) Xét p = 2 => p + 10 = 12, không là số nguyên tố, Loại
  (+) Xét p = 3 => p + 10 = 13 và p + 14 = 17, TM
  (+) Xét p > 3
      (-) p ≡ 1 ( mod 3 ) => p + 14 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 14 là số nguyên tố => p + 14 = 3, Loại
      (-) p ≡ -1 ( mod 3 ) => p + 10 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 10 là số nguyên tố => p + 10 = 3, Loại
  Vậy p = 3
8. p, p+ 4, p + 14 là các số nguyên tố => p + 14 > p + 4 > 3
  (+) Xét p = 2 => p + 4 = 6, không là số nguyên tố, Loại
  (+) Xét p = 3 => p + 4 = 7 và p + 14 = 17, TM
  (+) Xét p > 3
      (-) p ≡ 1 ( mod 3 ) => p + 14 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 14 là số nguyên tố => p + 14 = 3, Loại
      (-) p ≡ -1 ( mod 3 ) => p + 4 ≡ 0 ( mod 3 ). Mà p + 4 là số nguyên tố => p + 4 = 3, Loại
  Vậy p = 3

Câu 5.
Ta có
p^2 - 2q^2 = 1
<=> p^2 = 1 + 2q^2 (*)
(+) Xét q = 2, thay vào (*) ta được p^2 = 1 + 2.2^2 <=> p^2 = 9 <=> p = 3
=> (p , q) = (3 ; 2)
(+) Xét q = 3, thay vào (*) ta được p^2 = 1 + 2.3^2 <=>p^2 = 19, Loại
(+) Xét q > 3 => q ≡ ±1 ( mod 3) => q^2 ≡ 1 (mod 3)
=> 2q^2 + 1 ≡ 2.1 + 1 = 3 ≡ 0 (mod 3)
=> p^2 ≡ 0 (mod 3)
Do đó, p ≡ 0 (mod 3). Mà p là số nguyên tố => p = 3 => q = 2 < 3, Loại
Vậy (p , q) = (3 ; 2)