Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và MN.**

Gọi \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a = 15 \, \text{cm}\).

Tam giác \(ABC\) có diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = 270 \, \text{cm}^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{1}{2} \times 15 \times AH = 270 \implies AH = \frac{270 \times 2}{15} = 36 \, \text{cm}
\]

Ta có đoạn thẳng \(EF\) và \(MN\) được xác định bởi tỉ lệ trên chiều cao \(AH\).

Gọi \(AK = k\) thì \(KH = AH - k = 36 - k\).

Theo tính chất của tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{EF}{BC} = \frac{AH - k}{AH} \quad \text{và} \quad \frac{MN}{BC} = \frac{k}{AH}
\]

Bằng cách thay thế các giá trị ta tìm được:

\[
EF = BC \times \frac{AH - k}{AH} \quad \text{và} \quad MN = BC \times \frac{k}{AH}
\]

Phân tích tỉ lệ trên:

1. \(EF\) tỉ lệ với \(36-k\)
2. \(MN\) tỉ lệ với \(k\)

Do đó, tổng lại sẽ là:

\[
EF + MN = BC = 15 \, \text{cm}
\]

Giải hệ:

\[
EF + MN = 15
\]

**b) Tính diện tích tứ giác MNEF.**

Diện tích tứ giác \(MNEF\) được tính bằng hiệu diện tích tam giác \(ABC\) với diện tích của hai tam giác \(AMN\) và \(AEF\).

Diện tích \(AMN\) và \(AEF\):

\[
S_{AMN} + S_{AEF} = S_{ABC} = 270 \, \text{cm}^2
\]

Lợi dụng tỉ lệ của đoạn thẳng về chiều cao:

1. Diện tích \(S_{MN} = \frac{MN}{BC} \times S_{ABC}\)
2. Diện tích \(S_{EF} = \frac{EF}{BC} \times S_{ABC}\)

Sau đó, tứ giác \(MNEF\) sẽ có diện tích là:

\[
S_{MNEF} = S_{ABC} - (S_{AMN} + S_{AEF}) = 270 - (S_{MN} + S_{EF})
\]

Vì tỉ số đã tìm ở trên nên tính ra được diện tích cụ thể dựa vào giá trị của \(EF\) và \(MN\).

Cuối cùng, kết quả chúng ta cần sẽ là giá trị cụ thể cho diện tích \(S_{MNEF}\).

**Kết luận:**
- Tính toán cụ thể các đoạn thẳng và diện tích sẽ phụ thuộc vào các giá trị \(k\) cụ thể mà bạn chọn để phân chia chiều cao \(AH\).
- Đoạn thẳng \(EF\) và \(MN\) phụ thuộc vào vị trí của các điểm \(K\) trong tam giác.