Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

a²/(a-1) + 1 ≥ 2√[a²/(a-1)] 2b²/(b-1) + 2 ≥ 2√[2b²/(b-1)] 3c²/(c-1) + 3/2 + 3/2 ≥ 3√[3c²/(c-1)]

Cộng các bất đẳng thức lại, ta được:

P + 5/2 ≥ 2√[a²/(a-1)] + 2√[2b²/(b-1)] + 3√[3c²/(c-1)]

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bên phải của dấu ">=" bằng cách tối thiểu hóa từng biểu thức số dưới dấu căn.

Để tối thiểu hóa biểu thức √[a²/(a-1)], ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a²/(a-1) + (a-1) ≥ 2√[a²/(a-1)]

Tương tự, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các biểu thức còn lại, ta được:

2√[a²/(a-1)] + 2√[2b²/(b-1)] + 3√[3c²/(c-1)] ≥ 2(2a-2)^(1/4) + 2(4b-4)^(1/4) + 3(9c-9)^(1/6)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM lần nữa, ta được:

2(2a-2)^(1/4) + 2(4b-4)^(1/4) + 3(9c-9)^(1/6) ≥ 3(2(2a-2)^(1/4) (4b-4)^(1/4) (9c-9)^(1/6))^(1/3)

Do đó:

P + 5/2 ≥ 3(2(2a-2)^(1/4) (4b-4)^(1/4) (9c-9)^(1/6))^(1/3)

Để tối thiểu hóa biểu thức bên phải, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của a, b, c. Ta chọn a = b = c = 2, ta được:

P = 2²/(2-1) + 2(2²)/(2-1) + 3(2²)/(2-1-1) = 19

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 19.