Để số 4^x + 5 là số chính phương, ta cần tìm số nguyên dương n sao cho n^2 = 4^x + 5.

Suy ra: n^2 - 5 = 4^x.

Điều này cho thấy rằng n^2 - 5 là số chia hết cho 4, do đó n chia hết cho 2.

Giả sử n = 2m, thì ta có:

(2m)^2 - 5 = 4^x

4m^2 - 5 = 4^x

4m^2 = 4^x + 5

Mà một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi cả hai số lân cận chia hết cho 2.
Vậy, 4m^2 chia hết cho 4^2 = 16 khi và chỉ khi 4^x + 5 chia hết cho 16.

Để 4^x + 5 chia hết cho 16, ta cần 4^x chia hết cho 16, tức x ≥ 2.

Khi đó, ta có:

4^x + 5 ≡ 1 

Vậy để 4^x + 5 là số chính phương thì 4^x + 5 phải chia hết cho 4 và x ≥ 2.

Ta thử giá trị của x, ta có:

• Với x = 2: 4^x + 5 = 21, không phải số chính phương.
• Với x = 3: 4^x + 5 = 69, không phải số chính phương.
• Với x = 4: 4^x + 5 = 85, không phải số chính phương.
• Với x = 5: 4^x + 5 = 341, không phải số chính phương.
• Với x = 6: 4^x + 5 = 1365, không phải số chính phương.
• Với x = 7: 4^x + 5 = 5461, không phải số chính phương.
• Với x = 8: 4^x + 5 = 21845, là số chính phương.

Vậy x = 8.