a) Ta có ME = MA, do đó tam giác AEM là tam giác đều. Vì vậy, góc MAE = 60 độ. Tương tự, ta có góc MAB = góc MCB, và góc ACB = góc A + góc B = góc A + góc MAB + góc MCB = góc A + góc ABM + góc CEM. Như vậy, góc ABM = góc CEM. Hơn nữa, ta có BM = MC vì M là trung điểm của BC, và AM chung. Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh, ta có tam giác ABM= tam giác CEM.

b) Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Do đó, ta có góc AMB = góc AMC. Nhưng ta đã chứng minh tam giác ABM= tam giác CEM ở câu a), vì vậy góc BMH = góc EMK. Như vậy, ta có hai góc BMH và EMK bằng nhau và được hình thành bởi hai đường thẳng song song BM và EK. Theo định lý góc đối, ta có AB song song EC.

c) Ta cần chứng minh M là trung điểm của HK, tức là HM = MK. Ta có AM song song HK và AM = 2MK vì M là trung điểm của BC. Do đó, ta có MH = AK và AM = 2MK. Ta cũng có ME = MA. Khi đó, ta có:

\begin{aligned} HK^2 &= AH^2 + AK^2 \\ &= AH^2 + MH^2 \\ &= AM^2 + MH^2 \\ &= 4MK^2 + MH^2 \\ &= 4ME^2 + MH^2 \\ &= 4HE^2 + MH^2 \\ &= 4HM^2 \\ \end{aligned}

Do đó, HK = 2HM, hay M là trung điểm của HK, như cần chứng minh.