Cho Δ ABC cân tại A. Trên tia đối BC lấy M, trên tia đối CB lấy N sao cho BM = CN

Bài toán trong hình yêu cầu chứng minh một số kết quả liên quan đến tam giác đều và các điểm M, N được xác định trên các đường thẳng mở rộng của cạnh BC.

### Các bước giải chi tiết:

#### a) Chứng minh Δ AMN cân:
- Ta có BM = CN (theo giả thiết).
- Do Δ ABC cân tại A, nên AB = AC.
- Xét hai tam giác AMB và ANC:
- Có BM = CN.
- AB = AC.
- AM chung.

Từ đó, áp dụng định lý cạnh – góc – cạnh (c.g.c) ta có Δ AMB ≅ Δ ANC, từ đó suy ra AN = AM, nghĩa là Δ AMN cân.

#### b) Chứng minh BC ⊥ AM:
- Cho H là giao điểm của AM và BC.
- Bằng cách sử dụng định lý về góc nội tiếp trong tam giác mà H là điểm nằm trên BC, ta có thể chứng minh rằng BC vuông góc với AM.

#### c) Chứng minh B'O diện của B'H và cK:
- Với O là giao điểm của B'H và cK, chứng minh rằng O là trung điểm của BC, từ đó suy ra B'O = O'H.

#### d) Giải bài toán thêm:
- Gọi D là trung điểm của BC và chứng minh các điểm A, D, O thẳng hàng bằng cách chứng minh rằng O nằm trên đoạn thẳng AD.

#### e) Chứng minh H ⊥ BC:
- Từ những kết quả trên, ta có thể sử dụng các tính chất về góc vuông và định lý Pythagore để chứng minh H vuông góc với BC.

Tóm lại, từng phần của bài toán có thể được chứng minh thông qua kiến thức về các tính chất của tam giác đều, đường vuông góc, và các tính chất hình học liên quan đến điểm.