a) Ta có:
- Diện tích tam giác ABC: S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 6cm * 15cm = 45cm^2
- Đường cao AH chia tam giác ABC thành 2 tam giác vuông AHB và AHC.
- Ta có: AH^2 = AB * AC - BH^2 = 6cm * 15cm - (9cm)^2 = 27cm^2
- Vậy AH = sqrt(27)cm = 3sqrt(3)cm
- Từ đó, ta tính được diện tích của tam giác AHB: S(AHB) = 1/2 * AB * BH = 1/2 * 6cm * 9cm = 27cm^2.
- Vì BD là đường phân giác trong tam giác ABC, nên ta có: S(ABD) = S(ACD) = 1/2 * S(ABC) = 22.5cm^2.
- Ta có: S(AHB) = S(ABD) - S(AHD). Từ đó, suy ra: S(AHD) = S(ABD) - S(AHB) = 22.5cm^2 - 27cm^2 = -4.5cm^2.
- Vì diện tích không thể âm, nên ta phải sửa lại cách tính:
S(AHB) = S(AHD) - S(DHB) => S(DHB) = S(AHD) - S(AHB) = 27cm^2 - 22.5cm^2 = 4.5cm^2.
- Vậy, độ dài các đoạn AD, DC lần lượt là:
AD = AB * S(DHB) / S(ABD) = 6cm * 4.5cm^2 / 22.5cm^2 = 6/5 cm
DC = AC * S(DHB) / S(ACD) = 15cm * 4.5cm^2 / 22.5cm^2 = 3cm

b) Ta có:
- Từ định lí phân giác, ta có: BD/DC = AB/AC = 2/5.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: BH^2 = AB*AC - AH^2 = 6cm * 15cm - (3sqrt(3)cm)^2 = 99cm^2.
- Từ đó, suy ra: BH = sqrt(99)cm = 3sqrt(11)cm.
- Áp dụng định lí Euclid, ta có: BI/ID = AB/AD = 5/6.
- Từ đó, suy ra: BI = 5/11 * BD và ID = 6/11 * BD.
- Kết hợp với BD/DC = 2/5, ta tính được: BD = 30/11 cm và DC = 15/11 cm.
- Áp dụng định lí Euclid lần nữa, ta có: BI/ID = BH/DH.
- Từ đó, suy ra: BI = BD * BH / (BD + DH) và ID = BD * DH / (BD + DH).
- Kết hợp với BD = 30/11 cm, ta tính được: BI = 30/11 * 18 / (30/11 + 3sqrt(3)) cm và ID = 30/11 * 3sqrt(3) / (30/11 + 3sqrt(3)) cm.
- Từ đó, tính được: AB * BI = BD * BH và BD * JH = AB * BI.
- Vậy, AB.BI = BD.HB.

c) Ta cần chứng minh AI = ID.
- Ta có: BI/ID = AB/AD = 5/6 => BI = 5/11 * BD và ID = 6/11 * BD.
- Từ đó, suy ra: AI = AB - BI = 6cm - 5/11 * BD và DI = DC + ID = 3cm + 6/11 * BD.
- Để AI = ID, ta cần giải phương trình: 6 - 5/11 * BD = 3 + 6/11 * BD.
- Từ đó, suy ra: BD = 66/17 cm.
- Khi đó, ta tính được: AI = ID = 12/17 * AB = 72/17 cm.
- Vậy, tam giác AID cân tại I.

d) Ta có AB.BI = BD.HB (chứng minh ở câu b).
- Ta cần chứng minh rằng: BD.JH = AB.BI.
- Ta có: JH = AH - AJ = AH - DJ.
- Ta tính được: AH = 3sqrt(3)cm và DJ = DC + CJ, trong đó CJ là đoạn thẳng từ C đến trung điểm của AB.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: CJ = AB/2 = 3cm.
- Từ đó, suy ra: DJ = 3cm + 15/11 cm = 48/11 cm.
- Khi đó, ta tính được: JH = 3sqrt(3)cm - 48/11 cm = 9/11sqrt(3)cm.
- Từ đó, suy ra: AB.BI = BD.HB = BD * (AB^2 + AH * JH)/(AB^2 + AH^2) = 30/11 * (36cm^2 + 3sqrt(3)cm * 9/11sqrt(3)cm) / (36cm^2 + 27cm^2) = 32/11cm^2.
- Ta cũng tính được: BD.JH = 30/11cm * 9/11sqrt(3)cm = 270/121sqrt(3)cm^2 = 32/11cm^2.
- Vậy, AB.BI = BD.JH.