Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA, vẽ hình vuông AHDE

Để giải bài toán đã cho từ câu 3 trở đi, chúng ta sẽ làm theo từng bước yêu cầu.

### Câu 3: Chứng minh rằng AG, BF, HE đồng quy
Để chứng minh rằng ba đường thẳng \( AG, BF, HE \) đồng quy, chúng ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xét hình chiếu**: Gọi \( F \) là giao điểm của đường thẳng \( DE \) và \( AC \). Vì \( DE \) là đường chéo của hình vuông \( AHDE \), ta thấy rằng \( DE \) vuông góc với \( AH \) và tại điểm \( H \).

2. **Tính chất đồng quy**: Chúng ta biết rằng \( AG \) là đường thẳng đi qua \( A \) và song song với \( AB \), \( BF \) là đường thẳng đi qua \( B \) và song song với \( AC \). Đường thẳng \( HE \) là một đường thẳng đi qua hai điểm \( H \) và \( E \) trong hình vuông.

3. **Ứng dụng định lý đồng quy**: Do các đường thẳng này hợp thành những góc vuông tại các điểm xác định (vì đặc điểm của hình vuông và tam giác vuông), ta có thể kết luận rằng ba đường thẳng \( AG, BF, HE \) đồng quy.

### Câu 4: Chứng minh rằng DEHG là hình thang
Để chứng minh rằng \( DEHG \) là hình thang, chúng ta cần chỉ rõ rằng một trong các cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song:

1. **Tính chất của hình vuông**: Ta biết rằng trong hình vuông \( AHDE \), hai cạnh \( DE \) và \( AH \) đều vuông góc với nhau. Trong khi đó, hai đường thẳng \( AG \) và \( BF \) được vẽ song song với các cạnh của tam giác vuông \( ABC \).

2. **Cạnh song song**: Từ đó, ta có:
- \( DE \) song song với \( HG \) (vì cả hai đều song song với đường thẳng \( AB \)).
- Do đó, \( DEHG \) là hình thang với hai cạnh \( DE \) và \( HG \) song song.

### Câu 5: Tính diện tích hình thang DEHG nếu AB = 5cm và AH = 4cm
Để tính diện tích hình thang, ta sử dụng công thức diện tích hình thang:

\[
S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}
\]

Trong đó:
- \( b_1 \) và \( b_2 \) là độ dài hai đáy của hình thang.
- \( h \) là chiều cao.

1. **Độ dài đáy**: Xác định độ dài của hai đáy:
- Đáy \( b_1 = DE \) được tính bằng chiều dài của cạnh vuông trong hình vuông \( AHDE \). Cạnh này bằng \( AH \) vì hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau.
- Đáy \( b_2 = HG \) cũng bằng \( AH \) vì điểm \( G \) nằm trên đường thẳng song song với \( AC \) và cách đều so với \( AB \).

2. **Chiều cao**: Giá trị chiều cao \( h \) cũng là khoảng cách giữa hai đáy, mà trong trường hợp này, bằng chiều dài của đường cao \( AH \).

3. **Tính toán**:
- Ta có \( b_1 = b_2 = 4 \, \text{cm} \).
- Chiều cao \( h = AB = 5 \, \text{cm} \).

Diện tích hình thang được tính như sau:

\[
S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \, \text{cm}^2.
\]

Vậy diện tích hình thang \( DEHG \) là 20 cm².